Topologie determinate da funzioni continue
[ot]Mi prode la lingua che non possa parlare di fasci e germi di fasci in un punto![/ot]
Dal primo corso di topologia è noto che dato uno spazio topologico \(\displaystyle(X;\mathcal{T})\), esso determina l'insieme[nota]od anello, ma non è importante[/nota] \(\displaystyle C(X)\) delle funzioni continue da \(\displaystyle(X;\mathcal{T})\) allo spazio topologico \(\displaystyle(\mathbb{R};\mathcal{T}_{nat})\).
Ora considero gli insiemi \(\displaystyle X\) e \(\displaystyle C(X)\)[nota]A questo punto \(\displaystyle C(X)\) è un insieme di funzione da \(\displaystyle X\) a \(\displaystyle(\mathbb{R};\mathcal{T}_{nat})\).[/nota]: posso determinare la topologia \(\displaystyle\mathcal{T}\) su \(\displaystyle X\)? Come?
Personalmente: nel mio primo corso di topologia non ho mai visto un esercizio o un'osservazione così fondamentale per certi sviluppi\applicazioni della topologia; ecco perché lo propongo!
Dal primo corso di topologia è noto che dato uno spazio topologico \(\displaystyle(X;\mathcal{T})\), esso determina l'insieme[nota]od anello, ma non è importante[/nota] \(\displaystyle C(X)\) delle funzioni continue da \(\displaystyle(X;\mathcal{T})\) allo spazio topologico \(\displaystyle(\mathbb{R};\mathcal{T}_{nat})\).
Ora considero gli insiemi \(\displaystyle X\) e \(\displaystyle C(X)\)[nota]A questo punto \(\displaystyle C(X)\) è un insieme di funzione da \(\displaystyle X\) a \(\displaystyle(\mathbb{R};\mathcal{T}_{nat})\).[/nota]: posso determinare la topologia \(\displaystyle\mathcal{T}\) su \(\displaystyle X\)? Come?
Personalmente: nel mio primo corso di topologia non ho mai visto un esercizio o un'osservazione così fondamentale per certi sviluppi\applicazioni della topologia; ecco perché lo propongo!
Risposte
Mi è capitato di vedere i fasci per definire differential manifolds ma mai per la topologia generale. Penso comunque che sia necessario uno spazio, per lo meno, localmente euclideo affinché la descrizione abbia senso. Di fatto una topologia penso possa essere tanto esotica da non possedere funzioni continue non banali con \(\mathbb{R}\).
Spero di non aver frainteso la domanda. Non è sufficiente considerare la topologia immagine inversa in cui le \(f_i \) siano tutti gli elementi di \( C(X) \) e \( \forall i \in I \,, \ Y_i = \mathbb{R} \)?
@vict85 Anch'io (leggendo il Kobayashi-Nomizu vol.I) ho (ri)trovato la definizione di manifold via fasci; ma non c'è bisogno di ridursi agli spazi localmente euclidei. Poi intrinsecamente, senza cambiare i nomi, suppongo che \(\displaystyle C(X)\neq\emptyset\).
@Epimenide93 Sì, è esattamente lei; ma la dimostrazione non è straightforward! Almeno per come ho risolto io l'esercizio.
@Epimenide93 Sì, è esattamente lei; ma la dimostrazione non è straightforward! Almeno per come ho risolto io l'esercizio.
Intendevo dire che non tutti gli spazi topologici possono essere, ritengo, definiti attraverso la topologia dell'immagine inversa di funzioni in \(\mathbb{R}\) ma forse mi sbaglio.
"j18eos":
Sì, è esattamente lei; ma la dimostrazione non è straightforward! Almeno per come ho risolto io l'esercizio.
Non è poco più di una definizione? Chiamo \(\displaystyle \mathcal{S} \) la initial topology rispetto a \(\displaystyle C(X) \) su \(\displaystyle X \). Mentre, per costruzione, \(\displaystyle \mathcal{T} \) è la topologia che rende continue tutte e sole le \(\displaystyle C(X) \)
\[ A \in \mathcal{S} \Rightarrow \exists f \in C(X) \ \exists B_f^{(A)} \in \mathcal{T}_{nat} : \ f^{-1}(B_f^{(A)}) = A \\
B_f^{(A)} \in \mathcal{T}_{nat} \Rightarrow f^{-1}(B_f^{(A)}) \in \mathcal{T} \Rightarrow A \in \mathcal{T} \]
Viceversa
\[ A \in \mathcal{T} \Rightarrow \forall f \in C(X) \ \exists B_f^{(A)} \in \mathcal{T}_{nat} : \ f^{-1}(B_f^{(A)}) = A \\
\Rightarrow \exists \tilde{f} \in C(X) \ \exists B_{\tilde{f}}^{(A)} \in \mathcal{T}_{nat} : \ \tilde{f}^{-1}(B_{\tilde{f}}^{(A)}) = A \\
\Rightarrow B_{\tilde{f}}^{(A)} \in \mathcal{T}_{nat} \Rightarrow \tilde{f}^{-1}(B_{\tilde{f}}^{(A)}) \in \mathcal{T} \Rightarrow A \in \mathcal{S} \]
In pratica \(\displaystyle \mathcal{S} \) è la meno fine a rendere continue le \(\displaystyle C(X) \) e \(\displaystyle \mathcal{T} \) è la quella che le contiene tutte e sole. L'unica cosa da dimostrare mi sembra che sia *meno fine a contenerle tutte* \(\displaystyle \iff \) *non ne contiene altre*. A questo punto mi sa che in qualche passaggio sto nascondendo un cadavere sotto lo zerbino, solo che non riesco a capire dove
Eccoti il cadavere sotto lo zerbino!
@vict85 Mi risulta di sì, perché comunque in \(\displaystyle C(X)\) vi trovi sempre le funzioni costanti su(lle componenti connesse di) \(\displaystyle X\); ma se vi sono solo quelle allora la topologia è banale su(lle componenti connesse di) \(\displaystyle X\)! Se poi prendiamo tutte le possibili funzioni da \(\displaystyle X\) ad \(\displaystyle\mathbb{R}\) allora la topologia che si trova è quella discreta.
Per come esposto l'esercizio: per quanto possa essere esotica la topologia su \(\displaystyle X\) comunque si può trovare in linea teorica \(\displaystyle C(X)\), e viceversa!
"Epimenide93":Non è detto che ogni aperto in \(\displaystyle\mathcal{T}\) sia anti-immagine di un aperto in \(\displaystyle\mathcal{T}_{nat}\) mediante una funzione continua (di un insieme predeterminato).
...\[ A \in \mathcal{T} \Rightarrow \forall f \in C(X) \ \exists B_f^{(A)} \in \mathcal{T}_{nat} : \ f^{-1}(B_f^{(A)}) = A \]...
@vict85 Mi risulta di sì, perché comunque in \(\displaystyle C(X)\) vi trovi sempre le funzioni costanti su(lle componenti connesse di) \(\displaystyle X\); ma se vi sono solo quelle allora la topologia è banale su(lle componenti connesse di) \(\displaystyle X\)! Se poi prendiamo tutte le possibili funzioni da \(\displaystyle X\) ad \(\displaystyle\mathbb{R}\) allora la topologia che si trova è quella discreta.
Per come esposto l'esercizio: per quanto possa essere esotica la topologia su \(\displaystyle X\) comunque si può trovare in linea teorica \(\displaystyle C(X)\), e viceversa!
Se $X$ è almeno di Hausdorff e localmente compatto, il modo migliore è usare la dualità di Gel'fand: \(X\cong \text{Spec}(C(X))\).
@Epimenide Scusami, ti faccio notare che in generale non puoi affermare che:
\[
\mathcal{S}=\{f^{-1}(A)\subseteq X\mid f\in C(X);A\in\mathcal{T}_{nat}\}
\]
ma il ragionamento che hai fatto resta valido se... E inoltre, se capisci ti ho fornito un indizio (alla lontana) sull'altra implicazione.
@kb Speravo che intervenissi! Ne approfitto per scrivere che quel giochetto è fondamentale per iniziare a sviluppare la NCG (Geometria non-Commutativa); almeno da quel poco che mi è stato spiegato.
\[
\mathcal{S}=\{f^{-1}(A)\subseteq X\mid f\in C(X);A\in\mathcal{T}_{nat}\}
\]
ma il ragionamento che hai fatto resta valido se... E inoltre, se capisci ti ho fornito un indizio (alla lontana) sull'altra implicazione.
@kb Speravo che intervenissi! Ne approfitto per scrivere che quel giochetto è fondamentale per iniziare a sviluppare la NCG (Geometria non-Commutativa); almeno da quel poco che mi è stato spiegato.
@j18eos: hai ragione, ci sono le funzioni costanti per far funzionare il tutto.
Mi lascia perplesso questo punto. Insomma, per richiedere che siano tutte e sole, come minimo, è necessario che \(C(X)\) sia chiuso per composizione per \(C(U)\) per ogni aperto \(U \in \mathbb{R}\) e che inoltre sia chiuso come algebra/anello. Se \(C(X)\) è posto semplicemente come un insieme qualsiasi allora non posso aspettarmi che esista quel \(\displaystyle \mathcal{T} \) (ma solo l'inizial topology su di esso).
E anche nelle richieste scritte sopra dovrei assicurarmi che sia chiuso a sinistra per composizione con \(Aut(X)\) con la topologia così costituita (ma penso che questo sia vero anche se andrebbe verificato).
"Epimenide93":
Mentre, per costruzione, \(\displaystyle \mathcal{T} \) è la topologia che rende continue tutte e sole le \(\displaystyle C(X) \).
Mi lascia perplesso questo punto. Insomma, per richiedere che siano tutte e sole, come minimo, è necessario che \(C(X)\) sia chiuso per composizione per \(C(U)\) per ogni aperto \(U \in \mathbb{R}\) e che inoltre sia chiuso come algebra/anello. Se \(C(X)\) è posto semplicemente come un insieme qualsiasi allora non posso aspettarmi che esista quel \(\displaystyle \mathcal{T} \) (ma solo l'inizial topology su di esso).
E anche nelle richieste scritte sopra dovrei assicurarmi che sia chiuso a sinistra per composizione con \(Aut(X)\) con la topologia così costituita (ma penso che questo sia vero anche se andrebbe verificato).
@j18eos intanto grazie per l'aiuto e per aver riesumato il cadavere 
Se si lavora su una pre-base! Infatti l'insieme appena descritto è una pre-base per l'initial topology, non è l'initial topology. Detto \(\displaystyle \mathcal{B} \) tale insieme, per le proprietà di una pre-base posso sempre scrivere
\[
A = \bigcap_{i = 1}^n B_i, \ {\rm con} \ B_i \in \mathcal{B}
\]
e per ogni \(\displaystyle B_i \) quello che ho scritto è valido. Correggendo, la prima implicazione diventa:
\[
A \in \mathcal{S} \Rightarrow A = \bigcap_{i = 1}^n B_i \Rightarrow \forall i \in \{ 1, \ \ldots , \ n \} \ \exists f_i \in C(X) \ \exists H_i \in \mathcal{T}_{nat} : \ f_i^{-1}(H_i) = B_i\\
\Rightarrow A = \bigcap_{i = 1}^n f_i^{-1}(H_i) \\
H_i \in \mathcal{T}_{nat} \Rightarrow f_i^{-1}(H_i) \in \mathcal{T} \Rightarrow \bigcap_{i = 1}^n f_i^{-1}(H_i) \in \mathcal{T} \Rightarrow A \in \mathcal{T}
\]
Ora dovrebbe essere giusto (o almeno, lo spero
).
EDIT oggi non è giornata. La dimostrazione è valida per \(A \) elemento di una base per \(\mathcal{S}\) generata da \(\mathcal{B} \). Da quanto scritto sopra, e dalle proprietà di una base (ogni aperto di \(\mathcal{S}\) si scrive come unione di aperti del tipo di \(A \), e da qui estendere la dimostrazione sopra è solo una questione di notazioni non troppo piacevoli), discende che \(\mathcal{T} \) è una topologia uguale o più fine di \(\mathcal{S}\).
immagino ti riferisca al
che mi ha messo in testa un tarlo. Ho una mezza idea sulla quale sto lavorando, ma che ancora non sono riuscito a maturare. Appena riesco a tirar fuori qualcosa di concreto provo a proporlo qui.
Grazie ancora
@killing_buddha
Ignoro cosa sia la dualità di Gel'fand e chi sia \(\text{Spec}(C(X))\). Puoi suggerirmi dove trovare informazioni al riguardo?
@vict85
Mi lascia perplesso questo punto. Insomma, per richiedere che siano tutte e sole, come minimo, è necessario che \(C(X)\) sia chiuso per composizione per \(C(U)\) per ogni aperto \(U \in \mathbb{R}\) e che inoltre sia chiuso come algebra/anello. Se \(C(X)\) è posto semplicemente come un insieme qualsiasi allora non posso aspettarmi che esista quel \(\displaystyle \mathcal{T} \) (ma solo l'inizial topology su di esso). [/quote]
Ma \(C(X)\) non è un insieme qualsiasi di funzioni:
è per definizione l'insieme di tutte e sole le funzioni continue da \(\displaystyle(X;\mathcal{T})\) ad \(\displaystyle(\mathbb{R};\mathcal{T}_{nat})\).
Perché? Comunque dovrebbe esserlo per la proprietà universale dell'initial topology.
"j18eos":
@Epimenide Scusami, ti faccio notare che in generale non puoi affermare che:
\[
\mathcal{S}=\{f^{-1}(A)\subseteq X\mid f\in C(X);A\in\mathcal{T}_{nat}\}
\]
ma il ragionamento che hai fatto resta valido se...
Se si lavora su una pre-base! Infatti l'insieme appena descritto è una pre-base per l'initial topology, non è l'initial topology. Detto \(\displaystyle \mathcal{B} \) tale insieme, per le proprietà di una pre-base posso sempre scrivere \[
A = \bigcap_{i = 1}^n B_i, \ {\rm con} \ B_i \in \mathcal{B}
\]
e per ogni \(\displaystyle B_i \) quello che ho scritto è valido. Correggendo, la prima implicazione diventa:
\[
A \in \mathcal{S} \Rightarrow A = \bigcap_{i = 1}^n B_i \Rightarrow \forall i \in \{ 1, \ \ldots , \ n \} \ \exists f_i \in C(X) \ \exists H_i \in \mathcal{T}_{nat} : \ f_i^{-1}(H_i) = B_i\\
\Rightarrow A = \bigcap_{i = 1}^n f_i^{-1}(H_i) \\
H_i \in \mathcal{T}_{nat} \Rightarrow f_i^{-1}(H_i) \in \mathcal{T} \Rightarrow \bigcap_{i = 1}^n f_i^{-1}(H_i) \in \mathcal{T} \Rightarrow A \in \mathcal{T}
\]
Ora dovrebbe essere giusto (o almeno, lo spero
).EDIT oggi non è giornata. La dimostrazione è valida per \(A \) elemento di una base per \(\mathcal{S}\) generata da \(\mathcal{B} \). Da quanto scritto sopra, e dalle proprietà di una base (ogni aperto di \(\mathcal{S}\) si scrive come unione di aperti del tipo di \(A \), e da qui estendere la dimostrazione sopra è solo una questione di notazioni non troppo piacevoli), discende che \(\mathcal{T} \) è una topologia uguale o più fine di \(\mathcal{S}\).
"j18eos":
(...) se capisci ti ho fornito un indizio (alla lontana) sull'altra implicazione.
immagino ti riferisca al
"j18eos":
mediante una funzione continua (di un insieme predeterminato).
che mi ha messo in testa un tarlo. Ho una mezza idea sulla quale sto lavorando, ma che ancora non sono riuscito a maturare. Appena riesco a tirar fuori qualcosa di concreto provo a proporlo qui.
Grazie ancora
@killing_buddha
"killing_buddha":
Se $X$ è almeno di Hausdorff e localmente compatto, il modo migliore è usare la dualità di Gel'fand: \(X\cong \text{Spec}(C(X))\).
Ignoro cosa sia la dualità di Gel'fand e chi sia \(\text{Spec}(C(X))\). Puoi suggerirmi dove trovare informazioni al riguardo?
@vict85
"vict85":
[quote="Epimenide93"] Mentre, per costruzione, \(\displaystyle \mathcal{T} \) è la topologia che rende continue tutte e sole le \(\displaystyle C(X) \).
Mi lascia perplesso questo punto. Insomma, per richiedere che siano tutte e sole, come minimo, è necessario che \(C(X)\) sia chiuso per composizione per \(C(U)\) per ogni aperto \(U \in \mathbb{R}\) e che inoltre sia chiuso come algebra/anello. Se \(C(X)\) è posto semplicemente come un insieme qualsiasi allora non posso aspettarmi che esista quel \(\displaystyle \mathcal{T} \) (ma solo l'inizial topology su di esso). [/quote]
Ma \(C(X)\) non è un insieme qualsiasi di funzioni:
"j18eos":
dato uno spazio topologico \(\displaystyle(X;\mathcal{T})\), esso determina l'insieme \(\displaystyle C(X)\) delle funzioni continue da \(\displaystyle(X;\mathcal{T})\) allo spazio topologico \(\displaystyle(\mathbb{R};\mathcal{T}_{nat})\).
è per definizione l'insieme di tutte e sole le funzioni continue da \(\displaystyle(X;\mathcal{T})\) ad \(\displaystyle(\mathbb{R};\mathcal{T}_{nat})\).
"vict85":
E anche nelle richieste scritte sopra dovrei assicurarmi che sia chiuso a sinistra per composizione con \(Aut(X)\) con la topologia così costituita (ma penso che questo sia vero anche se andrebbe verificato).
Perché? Comunque dovrebbe esserlo per la proprietà universale dell'initial topology.
"Epimenide93":
@vict85
Ma \(C(X)\) non è un insieme qualsiasi di funzioni:
Infatti. Se \(C(X) = \{1_A\}\) dove \(1_A(a) = 1\) se e solo se \(\displaystyle a\in A \) e \(1_A(a) = 0\) altrimenti ha come initial topology la topologia \(\displaystyle \{ \emptyset, A, A^c, X \} \). D'altra parte la topologia appena destritta contiene come funzioni continue anche tutte le funzioni del tipo \(u\circ 1_A\) con \(u\colon U\subset \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) con \(\displaystyle U \) aperto che contiene \(\{0,1\}\). Quindi non esiste alcune topologia la cui unica funzione continua è \(\displaystyle 1_A \). Nello stesso modo se \(\displaystyle f,g\in C(X) \) allora certamente \(\displaystyle \alpha f, f+g, fg, \frac{f}{g}\in C(X) \). Quindi ritengo che siano necessarie delle condizioni su \(\displaystyle C(X) \) per supporre che esista una topologia che renda continuo solo \(\displaystyle C(X) \).
La condizione su \(\displaystyle C(X) \) è che sia determinato da \(\displaystyle (X, \mathcal{T}) \) ed \(\displaystyle (\mathbb{R}, \mathcal{T}_{nat}) \). Vien fuori per costruzione un anello, non potrà mai venire un \(\displaystyle C(X) \) che contiene solo la funzione \(\displaystyle 1_A \), perché come da te osservato, se \(\displaystyle \mathcal{T} \) la rende continua, rende continue anche tutte quelle che hai elencato, quindi certamente anche quelle staranno in \(\displaystyle C(X) \), per definizione. Non vedo dove sia il problema 
@Epimenide Nel tuo EDIT ti accorgi di aver dimostrato che gli aperti di un base di \(\displaystyle\mathcal{S}\) sono in \(\displaystyle\mathcal{T}\) e quindi concludi tranquillamente che \(\displaystyle\mathcal{S}\subseteq\mathcal{T}\).
Dato un anello \(\displaystyle R\), con \(\displaystyle\mathrm{Spec}(R)\) si indica l'insieme degli ideali primi (propri) di \(\displaystyle R\) (spettro di \(\displaystyle R\)); esso è uno spazio topologico con la sua usuale topologia di Zariski.
Questa è robetta di algebra commutativa, a mio parere studiabile dal III\IV anno di matematica; se escludi la struttura topologica sullo spettro di un anello, anche dal I\II anno!
Sulla dualità di Gel'fand: alzo le mani.
@Vittorio Scusami, ma forse ti stai facendo troppi problemi per la testa!
[list=1]
[*:20po16cw] Dato lo spazio topologico \(\displaystyle(X;\mathcal{T})\) mi costruisco l'insieme[nota]Teoricamente è possibile farlo; anzi ti ho fatto notare che non è vuoto![/nota] (se vuoi anello od \(\displaystyle\mathbb{R}\)-algebra) \(\displaystyle C(X)\) delle funzioni continue da \(\displaystyle(X;\mathcal{T})\) a \(\displaystyle(\mathbb{R};\mathcal{T}_{nat})\)[nota]Potrei considerare come codominio uno spazio topologico \(\displaystyle(Y;\mathcal{T}_0)\), ma non sarebbe valido quanto detto nella nota 1![/nota];[/*:m:20po16cw]
[*:20po16cw] considero l'insieme \(\displaystyle X\) e l'insieme \(\displaystyle C(X)\) (che per i motivi precedenti so che è un anello od una \(\displaystyle\mathbb{R}\)-algebra, ma non m'interessa questo particolare);[/*:m:20po16cw]
[*:20po16cw] posso considerare la weak topology \(\displaystyle\mathcal{S}\) su \(\displaystyle X\) generata da \(\displaystyle C(X)\) (come notato da Epimenide): risulta \(\displaystyle\mathcal{T}=\mathcal{S}\)?[/*:m:20po16cw][/list:o:20po16cw]
La domanda non è: dato un insieme \(\displaystyle\emptyset\neq W\subseteq\mathbb{R}^X\), esiste sempre(?) una\un'unica(?) topologia \(\displaystyle\mathcal{W}\) su \(\displaystyle X\) tale che le funzioni continue da \(\displaystyle(X;\mathcal{W})\) a \(\displaystyle(\mathbb{R};\mathcal{T}_{nat})\) siano tutte e solo quelle scelte in \(\displaystyle W\)?
Fino a questo punto della discussione: Epimenide ha dimostrato che \(\displaystyle\mathcal{S}\subseteq\mathcal{T}\)!
Dato un anello \(\displaystyle R\), con \(\displaystyle\mathrm{Spec}(R)\) si indica l'insieme degli ideali primi (propri) di \(\displaystyle R\) (spettro di \(\displaystyle R\)); esso è uno spazio topologico con la sua usuale topologia di Zariski.
Questa è robetta di algebra commutativa, a mio parere studiabile dal III\IV anno di matematica; se escludi la struttura topologica sullo spettro di un anello, anche dal I\II anno!
Sulla dualità di Gel'fand: alzo le mani.
@Vittorio Scusami, ma forse ti stai facendo troppi problemi per la testa!
[list=1]
[*:20po16cw] Dato lo spazio topologico \(\displaystyle(X;\mathcal{T})\) mi costruisco l'insieme[nota]Teoricamente è possibile farlo; anzi ti ho fatto notare che non è vuoto![/nota] (se vuoi anello od \(\displaystyle\mathbb{R}\)-algebra) \(\displaystyle C(X)\) delle funzioni continue da \(\displaystyle(X;\mathcal{T})\) a \(\displaystyle(\mathbb{R};\mathcal{T}_{nat})\)[nota]Potrei considerare come codominio uno spazio topologico \(\displaystyle(Y;\mathcal{T}_0)\), ma non sarebbe valido quanto detto nella nota 1![/nota];[/*:m:20po16cw]
[*:20po16cw] considero l'insieme \(\displaystyle X\) e l'insieme \(\displaystyle C(X)\) (che per i motivi precedenti so che è un anello od una \(\displaystyle\mathbb{R}\)-algebra, ma non m'interessa questo particolare);[/*:m:20po16cw]
[*:20po16cw] posso considerare la weak topology \(\displaystyle\mathcal{S}\) su \(\displaystyle X\) generata da \(\displaystyle C(X)\) (come notato da Epimenide): risulta \(\displaystyle\mathcal{T}=\mathcal{S}\)?[/*:m:20po16cw][/list:o:20po16cw]
La domanda non è: dato un insieme \(\displaystyle\emptyset\neq W\subseteq\mathbb{R}^X\), esiste sempre(?) una\un'unica(?) topologia \(\displaystyle\mathcal{W}\) su \(\displaystyle X\) tale che le funzioni continue da \(\displaystyle(X;\mathcal{W})\) a \(\displaystyle(\mathbb{R};\mathcal{T}_{nat})\) siano tutte e solo quelle scelte in \(\displaystyle W\)?
Fino a questo punto della discussione: Epimenide ha dimostrato che \(\displaystyle\mathcal{S}\subseteq\mathcal{T}\)!
"Epimenide93":
@killing_buddha
[quote="killing_buddha"]Se $X$ è almeno di Hausdorff e localmente compatto, il modo migliore è usare la dualità di Gel'fand: \(X\cong \text{Spec}(C(X))\).
Ignoro cosa sia la dualità di Gel'fand e chi sia \(\text{Spec}(C(X))\). Puoi suggerirmi dove trovare informazioni al riguardo?
[/quote]
Ti consiglio di leggere le note di Ivo dell'Ambrogio sull'argomento, che puoi reperire sul suo sito, oppure (per palati meno affini alla linguistica) queste note di un corso.
Qual e' il succo della dualita' di Gel'fand? Sostanzialmente un'equivalenza (controvariante) di categorie tra la categoria degli spazi topologici compatti e di Hausdorff, diciamola \(\bf CHaus\), e la categoria delle $C^*$-algebre commutative e unitarie, diciamo \(\text{C}^*\text{-}\bf Alg_1\). Piu' nel dettaglio, dato uno spazio topologico \(X\in \bf CHaus\) possiamo mandarlo nell'algebra delle funzioni continue \(\to\mathbb C\) dotata delle operazioni puntuali; questa e' un'algebra unitaria, che in effetti soddisfa la condizione \(C^*\), e la corrispondenza cosi' determinata e' un funtore controvariante
$$
{\bf CHaus} \to \text{C}^*\text{-}\bf Alg_1
$$
Ora, data una \(C^*\)-algebra $A$ possiamo considerare l'insieme dei suoi caratteri, ossia degli *-omomorfismi non banali $A\to\mathbb C$ dotato della topologia *-debole. Questo spazio si chiama spettro della C*-algebra $A$. La corrispondenza che manda $A$ in $Sp(A)$ e' anche lei un funtore (controvariante), cosa che ti invito a verificare. Lo spazio topologico $Sp(A)$ e' (guarda un po'!) compatto e di Hausdorff.
Ora, la dualita' di Gel'fand si enuncia cosi':
1. La funzione continua $X\mapsto C(X)\mapsto Sp(C(X))$ e' un omeomorfismo;
2. La funzione lineare $A\mapsto Sp(A)\mapsto C(Sp(A))$ e' un isomorfismo di C*-algebre.
Questo dice, sostanzialmente, che uno spazio topologico si puo' identificare con l'insieme dei caratteri dell'algebra delle sue funzioni continue, o equivalentemente (che e' quello che interessa a voi) che la topologia di $X$ e' totalmente determinata dal dato dell'algebra delle sue funzioni continue.
Alcune osservazioni:
1. Questo e' uno dei risultati profondi piu' "antichi" che si enunciano facilmente in linguaggio categoriale: e' tanto poco banale e macchinoso senza categorie, quanto semplice da enunciare e intuitivo con esse.
2. L'ipotesi di compattezza si puo' rimuovere: se $X$ non e' compatto, ma solo localmente compatto, allora l'algebra delle sue funzioni continue \(X\to \mathbb C\) non e' piu' unitaria, perche' la funzione costante in \(1_\mathbb C\) non ne fa piu' parte. Cionondimeno, e' sempre possibile forzare una data algebra ad essere unitaria (anche se ci sono varie unitarizzazioni canoniche possibili), e dall'altro lato e' sempre possibile compattificare uno spazio topologico (anche se ci sono molti modi di farlo: Stone-Cech, Alexandrov, ...); ebbene, l'operazione di compattificazione dello spazio corrisponde all'operazione di unitarizzazione della sua C*-algebra delle funzioni regolari, e viceversa, l'unitarizzazione dell'algebra corrisponde a compattificare lo spettro.
Otteniamo quindi un'equivalenza di categorie anche a questo livello:
$$
{\bf LCHaus}\to \text{C}^*\text{-}\bf Alg
$$ dove gli spazi sono quelli localmente compatti e di Hausdorff.
2bis. Piu' in generale si puo' dire che quando due categorie (in questo caso \({\bf LCHaus}\) e \(\text{C}^*\text{-}\bf Alg\)) sono equivalenti, allora anche le rispettive categorie degli endofuntori sono tra loro equivalenti, semplicemente componendole nel diagramma
- [tex]\xymatrix{
\bf C \ar[d]\ar[r]^\sim & \bf D\ar[d] \\
\bf C \ar[r]_\sim & \bf D
}[/tex][/list:u:1dfgsjsw]
In questa corrispondenza di endofuntori, l'unitarizzazione e la compattificazione di Alexandrov si corrispondono. A cosa corrisponda la compattificazione di Stone-Cech e', ovviamente, un esercizio per il lettore.
3. Da questa costruzione nasce, come diceva Armando, la geometria non commutativa. In che modo? Essenzialmente uno adesso si puo' chiedere: cosa succede se rimuovo anche l'ipotesi di commutativita' delle algebre? In fin dei conti la Meccanica Quantistica tratta esattamente strutture di questo tipo, algebre di operatori che non sono commutative.
Cosi' come viene enunciata, la cosa genera problemi: in un senso opportuno (che adesso non riesco a verbalizzare) la commutativita' garantiva che gli spazi fossero fatti di punti. Se la tolgo, gli spazi sono inutili (leggi: pointless)! Allora (riassumendo un po' quello che mi rendo conto sia indegno presentare in modo cosi' sloppy) mi devo rassegnare a trattare le cose solamente dal lato algebrico, e cercare di dedurre cosa siano le costruzioni geometriche classiche negli "spazi noncommutativi" leggendole attraverso le loro controparti algebriche: il paradigma e'
a. Enucleo una nozione che sono interessato a studiare per spazi non commutativi, incapsulandola in un endofuntore $F$ tra spazi topologici; ad esempio mandare uno spazio topologico nello spazio totale del suo universal bundle.
b. Qual e' la controparte algebrica di questa costruzione, ossia il funtore $F$ passato attraverso $C(-)$? I bundle sopra uno spazio corrispondono a moduli proiettivi sull'algebra $C(X)$.
c. Cosa succede a questa controparte se la faccio agire tra algebre non commutative?
d. Se tiro indietro (leggi: pulling back) la nozione algebrica ottengo qualcosa, e adesso, qualsiasi cosa sia questo qualcosa, sono rimasto con in mano la definizione della costruzione iniziale in ambito "spazi non commutativi".
Tutto cio' e molto fertile: Ivo per esempio ha studiato per lungo tempo la teoria di Morita delle C*-algebre: se due anelli si dicono equivalenti secondo Morita quando le rispettive categorie dei moduli sono equivalenti, due C*-algebre si diranno Morita equivalenti quando hanno categorie delle rappresentazioni (irriducibili? non ricordo...) equivalenti; questa si rivela essere una nozione di equivalenza debole ("omotopica") tra C*-algebre, o tra i loro spettri, a votre guise (si veda per esempio ""Morita homotopy theory of C*-categories" (I. Dell'Ambrogio, G. Tabuada 2011). Ancora: l'equivalenza di Gel'fand suggerisce che esista una teoria dell'omotopia tra C*-algebre che ricalca quella degli spazi topologici (li gruppi di omotopia, la K-teoria, e parte della teoria dei motivi (!)). Questo in effetti e' vero, come dimostrano i lavori di O. Uuye, A. Ostvaer ed altri: ho riassunto qualcosa di questa teoria qui, vedete in particolare la sezione 5 e l'appendice.
4. Questa costruzione ricorda certamente qualcosa a chi ha studiato un po' di geometria algebrica. Non e' un caso: se anche Picasso copiava, a maggior ragione lo ha fatto Grothendieck, che per creare la teoria degli schemi e' partito esattamente col paradigma della dualita' di Gel'fand in testa. L'equivalenza di categorie li' e' tra anelli commutativi unitari e schemi affini, cioe' "quegli spazi che sono della forma \(Spec(R)\) per un opportuno anello $R$".
..e poi c'e' chi e' convinto che la Matematica sia fatta di aree di ricerca e metodi di lavoro distinti. Ora basta pippe con la topologia generale, la cavalleria algebrica e' arrivata in aiuto.
"j18eos":
La domanda non è: dato un insieme \(\displaystyle\emptyset\neq W\subseteq\mathbb{R}^X\), esiste sempre(?) una\un'unica(?) topologia \(\displaystyle\mathcal{W}\) su \(\displaystyle X\) tale che le funzioni continue da \(\displaystyle(X;\mathcal{W})\) a \(\displaystyle(\mathbb{R};\mathcal{T}_{nat})\) siano tutte e solo quelle scelte in \(\displaystyle W\)?
Fino a questo punto della discussione: Epimenide ha dimostrato che \(\displaystyle\mathcal{S}\subseteq\mathcal{T}\)!
Ok, stavo interpretando male la domanda.
Sinceramente non penso che si abbia \(\mathcal{S} = \mathcal{T}\), anzi direi che sono piuttosto convinto del contrario.
Il fatto invece che \(\displaystyle \mathcal{S}\subseteq\mathcal{T} \) è per definizione se si usa la definizione usuale in topologia (la topologia debole è la meno fine che...). Usando la proprietà universale è altrettanto banale perché l'identità risulta, per la proprietà universale e le ipotesi su \(\displaystyle C(X) \), continua e quindi ogni aperto nella topologia \(\mathcal{S}\) essendo controimmagine di un aperto attraverso una funzione continua è aperto nella topologia \(\mathcal{T}\).
Il fatto invece che \(\displaystyle \mathcal{S}\subseteq\mathcal{T} \) è per definizione se si usa la definizione usuale in topologia (la topologia debole è la meno fine che...). Usando la proprietà universale è altrettanto banale perché l'identità risulta, per la proprietà universale e le ipotesi su \(\displaystyle C(X) \), continua e quindi ogni aperto nella topologia \(\mathcal{S}\) essendo controimmagine di un aperto attraverso una funzione continua è aperto nella topologia \(\mathcal{T}\).
Io mi sono impantanato completamente provando a dimostrare il viceversa. Chiaramente se un aperto di \(\mathcal{T}\) è il saturato di sé stesso rispetto a qualche funzione in \(C(X)\) sono a posto, ma quando rispetto ad ogni funzione il saturato di un aperto \(A \in \mathcal{T}\) contiene strettamente \(A\) non ho proprio idea di come dimostrare che \(A\) è aperto anche rispetto ad \(\mathcal{S}\). Sarebbe equivalente dimostrare che l'interno di \(A\) rispetto ad \(\mathcal{S}\) è proprio \(A\), ma andando in questa direzione non arrivo molto lontano. Oppure si potrebbe dimostrare che il complementare di \(A\) è l'unione del complementare del suo saturato con un chiuso di \(\mathcal{S}\), ma anche qui vicolo cieco, almeno per me. A dimostrare che la pre-base di \(\mathcal{S}\) genera anche \(\mathcal{T}\) non ci riesco, quindi mi trovo costretto a sventolare bandiera bianca, al momento non mi vengono altre idee.
@j18eos
grazie del chiarimento, sto preparando Algebra 2, proverò ad integrare il programma con qualche cenno di algebra commutativa dal momento che i prerequisiti dovrebbero essere quelli.
@vict85
Molto bella come dimostrazione!
@killing_buddha
hai messo veramente parecchia carne al fuoco, io matematicamente sono ancora in fase di svezzamento, quindi ci metterò un po' a digerire le bistecche, ma mi sono già messo all'opera, grazie infinite!
@j18eos
grazie del chiarimento, sto preparando Algebra 2, proverò ad integrare il programma con qualche cenno di algebra commutativa dal momento che i prerequisiti dovrebbero essere quelli.
@vict85
"vict85":
Usando la proprietà universale è altrettanto banale perché l'identità risulta, per la proprietà universale e le ipotesi su \(\displaystyle C(X) \), continua e quindi ogni aperto nella topologia \(\mathcal{S}\) essendo controimmagine di un aperto attraverso una funzione continua è aperto nella topologia \(\mathcal{T}\).
Molto bella come dimostrazione!
@killing_buddha
hai messo veramente parecchia carne al fuoco, io matematicamente sono ancora in fase di svezzamento, quindi ci metterò un po' a digerire le bistecche, ma mi sono già messo all'opera, grazie infinite!
Collegandomi a quanto scritto in ot nell'op: una funzione continua su \(\displaystyle X\) è continua in ogni suo punto; allora...
Nel testare una strada che avevo intrapreso credo di essermi imbattuto in un controesempio: nel caso in cui \(\displaystyle X = \mathbb{R} \) e \(\displaystyle \mathcal{T} = \kappa \) topologia cofinita, \(\displaystyle C(X) \) è l'insieme delle funzioni costanti, mentre detta \(\displaystyle \mathcal{S} \) la topologia debole indotta da \(\displaystyle C(X) \), \(\displaystyle \mathcal{S} \) risulta essere la topologia banale (verifica immediata). Se non ho sbagliato nulla direi che ha ragione vict85 dicendo che le ipotesi non sono sufficienti per affermare \(\displaystyle \mathcal{T} = \mathcal{S} \). Mi sembra (ad occhio perché adesso non ho il tempo di verificare) sia sufficiente che \(\displaystyle \mathcal{T} \) sia di Hausdorff.
Pensandoci, ho trovato l'errore (sciocco) che avevo commesso nel ragionare!
Eppoi, senza cambiare i nomi, è ovvio[nota]Utilizzando la teoria dei fasci: sì, è ovvio![/nota] che in generale \(\displaystyle\mathcal{S}\subsetneqq\mathcal{T}\); in quanto possono esistere funzioni continue solo su una parte di \(\displaystyle(X;\mathcal{T})\), ma non continue sulla stessa parte in \(\displaystyle(X;\mathcal{S})\)!
Eppoi, senza cambiare i nomi, è ovvio[nota]Utilizzando la teoria dei fasci: sì, è ovvio![/nota] che in generale \(\displaystyle\mathcal{S}\subsetneqq\mathcal{T}\); in quanto possono esistere funzioni continue solo su una parte di \(\displaystyle(X;\mathcal{T})\), ma non continue sulla stessa parte in \(\displaystyle(X;\mathcal{S})\)!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo