Prodotto di Eulero e zeta di Riemann

[kobeilprofeta]

Se $\zeta(s)=\sum_{n=1}^infty 1/n^s=\prod_{p} 1/(1-p^(-s))$.

considerando gli zeri di un prodotto si ha che un prodotto si annulla se e solo se è nullo almeno uno dei fattori, quindi $\prod_{p} 1/(1-p^(-s))=0$ se $1/(1-p^(-s))=0$ per qualche $p in NN$ e $s in CC$. Ma è possibile che $k/(f(s))=0$ per $k!=0$?

[gugo82]

Nella relazione di Eulero, \(s\) ha parte reale maggiore di \(1\) ed è ben noto che gli zeri della zeta non cadono nel semipiano \(\operatorname{Re} s>1\)... Quindi non vedo problemi di sorta.

[kobeilprofeta]

Credo di non aver capito una cosa fondamentale: se attribuisco lo stesso valore alla $s$ di entrambe le formule, ottengo lo stesso risultato? In altre parole, per esempio $\sum_{n=1}^infty 1/(n^(3+2i)) = \prod_p 1/(1-p^(-3-2i))$?

[gugo82]

Sì.
Ovviamente, la produttoria è estesa ai soli numeri primi e, per quanto detto sopra, il numero \(s\) deve avere parte reale maggiore di \(1\), altrimenti la cosa non funziona (nel caso in esame, \(\operatorname{Re}(3+2\imath) = 3>1\) e tutto fila liscio).