Forme chiuse e supporti
Un problema di geometria differenziale che mi è venuto in mente e propongo a voi esperti. Divisa in tre punti. I primi due servono a me per farmi capire che non sto sfasando totalmente....
Sia $X$ una varietà differenziale e sia $\omega$ in $\Omega^k(X)$ una $k$ forma differenziale chiusa.
1) Sia $\omega$ esatta. E' vero che $\omega$ e la forma differenziale nulla $0$ appartengono alla stessa classe di coomologia?
2) Supponiamo esistano due aperti $U_1$ e $U_2$ la cui unione sia $X$ e t.c. la forma $\omega$ sia esatta come forma differenziale ristretta ad $U_1$ e come forma differenziale ristretta ad $U_2$. Formalizzare a piacere cosa vuol dire questa affermazione.
3) Date le ipotesi del punto 2, è vero che esiste una forma differenziale $\omega'$ t.c. $omega$ e $omega'$ appartengono alla stessa classe di coomologia e t.c. il supporto di $omega'$ è contenuto nella chiusura di $U_1 \cap U_2$?
Sia $X$ una varietà differenziale e sia $\omega$ in $\Omega^k(X)$ una $k$ forma differenziale chiusa.
1) Sia $\omega$ esatta. E' vero che $\omega$ e la forma differenziale nulla $0$ appartengono alla stessa classe di coomologia?
2) Supponiamo esistano due aperti $U_1$ e $U_2$ la cui unione sia $X$ e t.c. la forma $\omega$ sia esatta come forma differenziale ristretta ad $U_1$ e come forma differenziale ristretta ad $U_2$. Formalizzare a piacere cosa vuol dire questa affermazione.
3) Date le ipotesi del punto 2, è vero che esiste una forma differenziale $\omega'$ t.c. $omega$ e $omega'$ appartengono alla stessa classe di coomologia e t.c. il supporto di $omega'$ è contenuto nella chiusura di $U_1 \cap U_2$?
Risposte
1) è una tautologia.
2) mi pare non ci sia nulla da fare: come la poni la tua affermazione è già abbastanza formale.
3) buh
qua purtroppo bisogna pensare...
EDIT: sparo qualche conto in modalità "brain dead". Se $X=U_1\cup U_2$ e $\rho_1, \rho_2$ è una partizione dell'unità, allora prendendo $\eta_j\in\Omega^{k-1}(U_j),\ j=1,2$ tali che $d\eta_j=\omega|_{U_j}$ e appiccicandoli insieme, si ottiene questa roba qua:
\[
\eta=\eta_1\rho_1+\eta_2\rho_2.\]
Se ora prendiamo il differenziale esterno otteniamo
\[\begin{split}
d\eta&= d\eta_1 \rho_1+d\eta_2\rho_2+(-1)^{k-1}\left( \eta_1\wedge d \rho_1+\eta_2\wedge d\rho_2\right)\\
&=\omega + \text{robaccia}.
\end{split}\]
In coomologia $d\eta=0$. Quindi $\omega$ è nella stessa classe di coomologia della robaccia, e qualcosa mi dice che la robaccia è supportata in $U_1\cap U_2$, ma non sono in condizione di verificare questa ultima affermazione
2) mi pare non ci sia nulla da fare: come la poni la tua affermazione è già abbastanza formale.
3) buh
qua purtroppo bisogna pensare...EDIT: sparo qualche conto in modalità "brain dead". Se $X=U_1\cup U_2$ e $\rho_1, \rho_2$ è una partizione dell'unità, allora prendendo $\eta_j\in\Omega^{k-1}(U_j),\ j=1,2$ tali che $d\eta_j=\omega|_{U_j}$ e appiccicandoli insieme, si ottiene questa roba qua:
\[
\eta=\eta_1\rho_1+\eta_2\rho_2.\]
Se ora prendiamo il differenziale esterno otteniamo
\[\begin{split}
d\eta&= d\eta_1 \rho_1+d\eta_2\rho_2+(-1)^{k-1}\left( \eta_1\wedge d \rho_1+\eta_2\wedge d\rho_2\right)\\
&=\omega + \text{robaccia}.
\end{split}\]
In coomologia $d\eta=0$. Quindi $\omega$ è nella stessa classe di coomologia della robaccia, e qualcosa mi dice che la robaccia è supportata in $U_1\cap U_2$, ma non sono in condizione di verificare questa ultima affermazione
Le $\rho_i$ possono essere prese a supporto compatto dentro gli $U_i$, per cui $d\rho_i$ sono definite nei rispettivi $U_i$ e zero fuori. Quindi la robaccia è somma di una cosa definita dentro $U_1$ e una dentro $U_2$, e che risultano definite nulle fuori dai rispettivi aperti, e quindi puoi definirla nell'intersezione.
Grazie mille per le risposte,... always a pleasure...
Dissonance i sembra dalla tu costruzione, come dice ciampax, che:
$ \eta_1\wedge d \rho_1$
ha supporto (contenuto in) in $U_1$, mentre
$ \eta_2\wedge d\rho_2$
ha supporto (contenuto in) in $U_2$.
Quindi, supponiamo per esempio di essere in $U_1 - (U_1 \cap U_2)$. Qui la seconda forma differenziale è nulla, e quindi, affinchè lo sia la somma, lo deve essere anche la prima, ma per quale motivo questo dovrebbe accadere? (io non lo vedo...
)
Dissonance i sembra dalla tu costruzione, come dice ciampax, che:
$ \eta_1\wedge d \rho_1$
ha supporto (contenuto in) in $U_1$, mentre
$ \eta_2\wedge d\rho_2$
ha supporto (contenuto in) in $U_2$.
Quindi, supponiamo per esempio di essere in $U_1 - (U_1 \cap U_2)$. Qui la seconda forma differenziale è nulla, e quindi, affinchè lo sia la somma, lo deve essere anche la prima, ma per quale motivo questo dovrebbe accadere? (io non lo vedo...
)
Perché fuori da $U_1\cap U_2$ una delle funzioni $\rho_1, \rho_2$ è identicamente nulla e l'altra è identicamente uguale a $1$
Giustamente, dovendo sommare ad uno 
...
...
Mi sembra, nonostante l'ora, che more or less funzioni il tutto 
Io avevo trovato il risultato (in realtà pensavo ci volesse la chiusura dell'intersezione) in maniera più arzigogolata studiando la dimostrazione della sequenza di Mayer Vietoris per la coomologia di de Rahm...
spero vi sia piaciuto
Io avevo trovato il risultato (in realtà pensavo ci volesse la chiusura dell'intersezione) in maniera più arzigogolata studiando la dimostrazione della sequenza di Mayer Vietoris per la coomologia di de Rahm...
spero vi sia piaciuto
"Thomas":
Io avevo trovato il risultato (in realtà pensavo ci volesse la chiusura dell'intersezione) in maniera più arzigogolata studiando la dimostrazione della sequenza di Mayer Vietoris per la coomologia di de Rham...
Mamma mia!
Se proprio hai tempo da perdere spiegaci un po' come hai fatto, magari evitando di entrare in troppi dettagli. (Comunque si, mi è piaciuto)
"dissonance":
[quote="Thomas"]Io avevo trovato il risultato (in realtà pensavo ci volesse la chiusura dell'intersezione) in maniera più arzigogolata studiando la dimostrazione della sequenza di Mayer Vietoris per la coomologia di de Rham...
Mamma mia!
Se proprio hai tempo da perdere spiegaci un po' come hai fatto, magari evitando di entrare in troppi dettagli. (Comunque si, mi è piaciuto)[/quote]
Certo! Anzi non chiedo di meglio, per me che sto vedendo ora queste cose è un esercizio anche solo cercare di farsi comprendere
... Solo che dato che le vacanze sono finite ci metterò un po' ma abbi fiducia... 
Allora, provo a scrivere quel che avevo pensato.... Ovviamente sono giri contorti, ci sono finito per caso ...
Nella dimostrazione della sequenza di Mayer Vietoris che conosco io e che stavo studiando si passa dalla costruzione della seguente sequenza esatta.
$0 \rightarrow \Omega^k(X) \rightarrow \Omega^k(U_1) \oplus \Omega^k(U_2) \rightarrow \Omega^k(U_1 \cap U_2) \rightarrow 0$
e poi si passa alla sequenza esatta lunga in coomologia con la mappa di bordo.
Ho trovato il risultato interpretando le mappe della sequenza esatta lunga. Per esempio la mappa:
$\Omega^k(X) \rightarrow \Omega^k(U_1) \oplus \Omega^k(U_2)$
è data semplicemente dalla restrizione ad $U_1$ e ad $U_2$. Vedendo la mappa indotta in coomologia:
$H^k(X) -> H^k(U_1) \oplus H^k(U_2)$
il Kernel di quest'ultima è dato proprio dalla (classe delle) k-forme chiuse che sono esatte sia ristrette ad $U_1$ che ad $U_2$.
A questo punto per esattezza della sequenza esatta lunga in coomologia il kernel di questa mappa coincide con l'immagine della mappa di bordo $\delta: H^{k-1}(U_1 \cap U_2) -> H^{k}(X)$ .
Questa mappa di bordo (costruita un po' come hai fatto te usando le partizioni dell'unit\'a) viene per costruzione indotta da una mappa da $\Omega^{k-1}(U_1 \cap U_2)$ in $\Omega^k(X)$. Guardando la forma esplicita di quest'ultima (e qui purtroppo mi co vorrebbe troppo tempo per riportarne la costruzione) mi sono accorto che questa mappa aveva la proprietà di mandare forme differenziali definite in $\Omega^{k-1}(U_1 \cap U_2)$ in particolari forme differenziali di $\Omega^k(X)$, ovvero forme definite su tutto $X$ ma con supporto nella chiusura del'intersezione $U_1 \cap U_2$. Questo vuol dire che ogni classe di equivalenza immagine della mappa di bordo possiede un rappresentante con supporto nell'intersezione.
Riassumendo si vede che le classi che corrispondono a forme esatte ristrette ad $U_1$ ed $U_2$ possiedono un rappresentante con supporto nell'intersezione, il che è il testo dell'esercizio che ho proposto...
Spero si capisca more or less il giro di ragionamenti...Fatemi sapere se avete commenti... Ovviamente la dimostrazione di dissonance è molto più lineare...
Chissà forse sarebbe interessante cercare di capire che succede se invece di 2 aperti ne mettiamo 3
...Nella dimostrazione della sequenza di Mayer Vietoris che conosco io e che stavo studiando si passa dalla costruzione della seguente sequenza esatta.
$0 \rightarrow \Omega^k(X) \rightarrow \Omega^k(U_1) \oplus \Omega^k(U_2) \rightarrow \Omega^k(U_1 \cap U_2) \rightarrow 0$
e poi si passa alla sequenza esatta lunga in coomologia con la mappa di bordo.
Ho trovato il risultato interpretando le mappe della sequenza esatta lunga. Per esempio la mappa:
$\Omega^k(X) \rightarrow \Omega^k(U_1) \oplus \Omega^k(U_2)$
è data semplicemente dalla restrizione ad $U_1$ e ad $U_2$. Vedendo la mappa indotta in coomologia:
$H^k(X) -> H^k(U_1) \oplus H^k(U_2)$
il Kernel di quest'ultima è dato proprio dalla (classe delle) k-forme chiuse che sono esatte sia ristrette ad $U_1$ che ad $U_2$.
A questo punto per esattezza della sequenza esatta lunga in coomologia il kernel di questa mappa coincide con l'immagine della mappa di bordo $\delta: H^{k-1}(U_1 \cap U_2) -> H^{k}(X)$ .
Questa mappa di bordo (costruita un po' come hai fatto te usando le partizioni dell'unit\'a) viene per costruzione indotta da una mappa da $\Omega^{k-1}(U_1 \cap U_2)$ in $\Omega^k(X)$. Guardando la forma esplicita di quest'ultima (e qui purtroppo mi co vorrebbe troppo tempo per riportarne la costruzione) mi sono accorto che questa mappa aveva la proprietà di mandare forme differenziali definite in $\Omega^{k-1}(U_1 \cap U_2)$ in particolari forme differenziali di $\Omega^k(X)$, ovvero forme definite su tutto $X$ ma con supporto nella chiusura del'intersezione $U_1 \cap U_2$. Questo vuol dire che ogni classe di equivalenza immagine della mappa di bordo possiede un rappresentante con supporto nell'intersezione.
Riassumendo si vede che le classi che corrispondono a forme esatte ristrette ad $U_1$ ed $U_2$ possiedono un rappresentante con supporto nell'intersezione, il che è il testo dell'esercizio che ho proposto...
Spero si capisca more or less il giro di ragionamenti...Fatemi sapere se avete commenti... Ovviamente la dimostrazione di dissonance è molto più lineare...
Chissà forse sarebbe interessante cercare di capire che succede se invece di 2 aperti ne mettiamo 3
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