Domanda filosofica
Come convincereste vostra nonna che, dato uno spazio vettoriale $V$ su un campo $F$:
1) il campo $F$ può essere visto come spazio vettoriale su sè stesso;
2) tensorizzare $V$ con $F$ non cambia nulla in quanto $V \otimes F$ è canonicamente isomorfo a $V$ ;
che vuol dire intuitivamente questa cosa?
1) il campo $F$ può essere visto come spazio vettoriale su sè stesso;
2) tensorizzare $V$ con $F$ non cambia nulla in quanto $V \otimes F$ è canonicamente isomorfo a $V$ ;
che vuol dire intuitivamente questa cosa?
Risposte
"Thomas":
[...] 1) il campo $F$ può essere visto come spazio vettoriale su sè stesso; [...]
Provo a darti una risposta un po' sloppy: se ricordi, data \(E\) estensione algebrica semplice di \(F\) (\(E=F[\alpha]\)) di grado \(n\), si poteva/può vedere \(E\) come spazio vettoriale di dimensione \(n\) su \(F\), ove una base dello stesso è \(\{1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}\}\). Ragionando per analogia, \(F=F[1_F]\) ove la base è banalamente \(\{1_F\}\) e gli elementi di \(F\) sono del tipo \(a \cdot 1_F\) con \(a \in F\).
Non sono sicuro che mia nonna capirebbe 
.. E per la seconda?
.. E per la seconda?
Come concetti non sono difficili, ma tua nonna deve avere almeno un po' di basi di algebra lineare.
Per la prima io farei vedere che se prendi $1 \in F$, allora i multipli di $1$ generano tutto $F$. Quindi $1$ genera $F$ come spazio vettoriale su $F$. (Non è una dimostrazione troppo rigorosa, ma non è neanche lontana dalla dimostrazione vera e propria).
Per la seconda è più difficile. Ma non è difficile far capire che se $V = F^n$ e $W = F^m$ allora $V \otimes W$ sono matrici $n \times m$. Detto questo, dal momento che $F = F^1$, si ha che $V \otimes F$ sono matrici $\dim V \times 1$, e quindi possiamo scordarci l'$1$.
Per la prima io farei vedere che se prendi $1 \in F$, allora i multipli di $1$ generano tutto $F$. Quindi $1$ genera $F$ come spazio vettoriale su $F$. (Non è una dimostrazione troppo rigorosa, ma non è neanche lontana dalla dimostrazione vera e propria).
Per la seconda è più difficile. Ma non è difficile far capire che se $V = F^n$ e $W = F^m$ allora $V \otimes W$ sono matrici $n \times m$. Detto questo, dal momento che $F = F^1$, si ha che $V \otimes F$ sono matrici $\dim V \times 1$, e quindi possiamo scordarci l'$1$.
Ottimo... aggiungo io una motivazione:
$V \otimes W$ è costruito partendo dallo vettoriale libero delle espressioni $v \otimes w$ e considerandone delle classi di equivalenza date da delle relazioni. Nel caso specifico i generatori dello spazio vettoriale libero sono le espressioni
$v \otimes f$ dove $f$ è un elemento del campo.
Usando però le relazioni, si ha che $[v \otimes f] = [f*(v \otimes 1)]$. Quindi dopo aver quozientato si vede che lo spazio vettoriale finale è generato dai rappresentanti $f*(v \otimes 1)$, il che rende plausibile (ma non è una dimostrazione) del perchè "non abbiamo fatto nulla"
$V \otimes W$ è costruito partendo dallo vettoriale libero delle espressioni $v \otimes w$ e considerandone delle classi di equivalenza date da delle relazioni. Nel caso specifico i generatori dello spazio vettoriale libero sono le espressioni
$v \otimes f$ dove $f$ è un elemento del campo.
Usando però le relazioni, si ha che $[v \otimes f] = [f*(v \otimes 1)]$. Quindi dopo aver quozientato si vede che lo spazio vettoriale finale è generato dai rappresentanti $f*(v \otimes 1)$, il che rende plausibile (ma non è una dimostrazione) del perchè "non abbiamo fatto nulla"
"Thomas":
Come convincereste vostra nonna che, dato uno spazio vettoriale $V$ su un campo $F$:
1) il campo $F$ può essere visto come spazio vettoriale su sè stesso;
Supponendo che sappia cosa sia uno spazio vettoriale direi che basta fargli notare che la somma e il prodotto soddisfano gli assiomi
."Thomas":
2) tensorizzare $V$ con $F$ non cambia nulla in quanto $V \otimes F$ è canonicamente isomorfo a $V$ ;
che vuol dire intuitivamente questa cosa?
Questa è meno semplice perché prima di tutto bisognerebbe spiegargli cosè il prodotto tensoriale. Comunque basta mostrare che \(a\otimes v = 1\otimes av\). Da lì è evidente che \(\sum b_i a_i\otimes v_i \mapsto \sum b_ia_iv_i\) è un applicazione lineare iniettiva e suriettiva.
incominciamo un po' con la prima, victb85... mia nonna non capisce se l'1 del campo è un vettore o uno scalare nel nuovo spazio vettoriale... è confusa 
Beh, è entrambe le cose.
Ehm... non so se si è capita l'intenzione del mio messaggio. Non consiste nel porre una domanda (so già la risposta), ma nel cercare di trovare spiegazioni intuitive di fatti che si dimostrano molto facilmente. Queste spiegazioni intuitive dovrebbero aumentare la comprensione degli argomenti (per esempio capire meglio cosa è un prodotto tensore), non essere nè formali nè laconiche, bensì discorsive...
In particolare, dire "è entrambe le cose" non è una risposta molto chiara, almeno a mio parere e lascia troppa interpretazione a mia nonna, che andrebbe in confusione. Perchè è entrambe le cose? In che modo questa sua proprietà si evidenza? E' un oggetto che possiede due proprietà oppure sono due oggetti distinti?
In particolare, dire "è entrambe le cose" non è una risposta molto chiara, almeno a mio parere e lascia troppa interpretazione a mia nonna, che andrebbe in confusione. Perchè è entrambe le cose? In che modo questa sua proprietà si evidenza? E' un oggetto che possiede due proprietà oppure sono due oggetti distinti?
Sono entrambe le cose ma non contemporaneamente. Un elemento di \(F\) è uno scalare quando viene moltiplicato per un altro, un vettore quando è presentato da solo. Insomma la moltiplicazione di \(F\) viene intesa come una operazione esterna.
Insomma se scrivi \(rf\) allora \(r\) è un elemento di \(F\) visto come scalare mentre \(f\) è un elemento di \(F\) visto come vettore.
Insomma se scrivi \(rf\) allora \(r\) è un elemento di \(F\) visto come scalare mentre \(f\) è un elemento di \(F\) visto come vettore.
grazie mille per avere espanso la risposta 
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