Come si scrive formalmente...

[frog75]

... il numero di frazioni necessarie affinché la somma sia maggiore di un dato numero n?

In altre parole esiste un modo formale per descrivere la funzione per cui :

se

$n = 1$

$f(1) = 3$

dato che

$1/2+1/3+1/4 > 1$

grazie in anticipo

F.

[gugo82]

Qui di seguito cambio un po' le tue notazioni: in particolare uso \(n\) per denotare un indice, mentre riservo il classico \(\varepsilon\) ad una costante positiva "grande" (che prende il posto del tuo n).

Dato che non è possibile esibire una formula elementare chiusa che restituisca i numeri armonici, cioé non si può scrivere:
\[
H(n) = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}
\]
con \(H\) funzione elementare, il tuo problema non credo abbia soluzione elementare.

Tuttavia puoi fare facilmente delle stime.
Ad esempio, dato che:
\[
\begin{split}
\sum_{k=1}^{2^n} \frac{1}{k} &= 1 + \frac{1}{2} + \underbrace{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}_{>\frac{2}{4}} \\
&\phantom{=} + \underbrace{\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}}_{>\frac{4}{8}} \\
&\phantom{=}+\cdots + \underbrace{\frac{1}{2^{n-1} +1} + \frac{1}{2^{n-1}+2} + \cdots + \frac{1}{2^n}}_{>\frac{2^{n-1}}{2^n}}\\
&>1+\frac{1}{2} + \underbrace{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}+\cdots + \frac{1}{2}}_{n-1 \text{ volte}}\\
&= 1+\frac{n}{2}
\end{split}
\]
hai:
\[
\sum_{k=2}^{2^n} \frac{1}{k} > \frac{n}{2}\; .
\]
Ora, fissato \(N\in \mathbb{N}\), esiste un unico \(n\in \mathbb{N}\) tale che \(2^n\leq N<2^{n+1}\) e perciò hai:
\[
\sum_{k=2}^N \frac{1}{k} \geq \sum_{k=2}^{2^n} \frac{1}{k} >\frac{n}{2}\; ;
\]
dato che:
\[
n= \lfloor \log_2 N\rfloor
\]
la precedente restituisce la minorazione:
\[
\sum_{k=2}^N \frac{1}{k} > \frac{1}{2}\ \lfloor \log_2 N\rfloor\; .
\]
Conseguentemente si ha:
\[
\sum_{k=2}^N \frac{1}{k} > \varepsilon
\]
non appena l'indice \(N\) soddisfa:
\[
\lfloor \log_2 N\rfloor > 2\varepsilon
\]
cioé allorquando:
\[
N> N(\varepsilon) := 2^{2\varepsilon}\; .
\]

Quindi, per tornare alle tue notazoni, una possibile funzione \(f\) potrebbe essere:
\[
f(n) = 2^{2n}.
\]
Ma, ovviamente, questa non è la "migliore funzione possibile".

[theras]

Introducendo la costante di Eulero-Mascheroni
(battezziamola $gamma$, facendo finta che non sia già nota con questo nome in letteratura scientifica ,
ed anzi esageriamo denotando con $gamma_m$ la successione delle somme parziali della serie a termini positivi che la introduce come sua somma, ossia la "famosa" $sum_(n=1)^(+oo) [1/n-log(1+1/n)]$ che risulta convergente per confronto asintotico con la serie armonica generalizzata d'ordine $2$),
mi pare di poter dire che si tratta di risolvere la disequazione $gamma_m>n+1-log(m+1)$(1);
avendosi poi $gamma_m>=gamma-1/(2m)$ $AA m in NN$,
come evincibile arrestando al I° ordine lo sviluppo in serie di Mac-Laurin di $f(x)=log(1+x):(-1,1) to RR$
e scrivendone il resto sotto la forma cara a Lagrange,
per risolvere la (1),che ha l'aria d'essere vagamente non elementare, mi potrei "accontentare" di risolvere la
$gamma-1/(2m)>n+1-log(m+1)$(2):
ma pure quest'ultima non sembra esattamente "semplice",
e con umiltè di sacchiana memoria m'arrendo e sposto la mia attenzione sulla $gamma-1/2>n+1-log(m+1)$(3..finalmente),
che tutto sommato direi elementarmente approcciabile .
Questa sembra una stima non male(se non ho fatto casino con i versi delle disuguaglianze),
ma direi che è ben lontana da essere la best fit:
né tanto meno mi sembra che aggiungere qualche termine nello sviluppo in serie di Taylor della $f$ migliori in modo decisivo la nostra situazione di viaggiatori smarriti in cerca della risposta priva d'approssimazioni all'infernale quesito dell'OP
(se c'è,come d'istinto sembrerebbe se non considerassimo il rischio che le congetture possono essere fallaci..) ,
anche se magari è un primo passo di base per la nostra ricerca.
Spero d'esser stato utile:
saluti dal web.