Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti!
Ho bisogno di una delucidazione su un particolare esempio.
Riporto dal libro "Metodi matematici della fisica":
Può anche avvenire che una matrice T non normale possieda un numero di autovettori indipendenti (non ortonormali) uguale alla dimensione dello spazio, come avviene ad esempio per la matrice: $((1,0),(1,0))$
in tal caso gli autovettori possono essere scelti come base non ortonormale dello spazio e la matrice T si può diagonalizzare.
Io ho risolto l'equazione ...
Rileggendo gli appunti ho trovato:
Se $f$ ammette l'autovalore nullo, la $f$ è singolare.
In parole povere, cosa significa che $f$ è singolare?
Come si prova che un sottoinsime $W$ è un sottospazio di $R^3$?
tipo questo sottoinsieme: $W=(a+b-c=0)$
come si dimostra che è un sottospazio?
sALVE SONO UN Pò IN DIFFICOLTà CON ALCUNI PROBLEMI:
Sia St (al variare del parametro t) il sottospazio delle soluzioni del sistema omogeneo ∑t:
3 x1+x2-2x3+x4=0
{ -6 x1-2x2+4x3+x4=0
2x1+2x2+(t2-2) x3=0
Discutere, al variare di t, la dimensione di St; descrivere S-2. Se B-2 è una sua base, completarla ad una base di R4.
VI SAREI GRATO SE POTESSE SPECIFICARE I PASSAGGI DA ESEGUIRE CN QUESTO TIPO DI ESERICZIO.
VI RINGRAZIO ANTICIPATAMENTE.
Ciao a tutti!
Stavo risolvendo alcuni esercizi sulle mappe conformi,
U n mappa [tex]F:\Omega\subset\mathbb{C}\to\mathbb{C}[/tex] olomorfa su [tex]\Omega[/tex] tale che [tex]F'(z)\neq 0[/tex] per ogni scelta di [tex]z\in\Omega[/tex] si dice conforme.
In particolare [tex]F[/tex] conserva gli angoli, i.e. che prese due curve differenziabili [tex]\sigma,\beta:I\to\Omega[/tex] tali che esiste un punto [tex]t_0\in I[/tex] per cui [tex]\sigma(t_0)=\beta(t_0)[/tex], allora l'angolo formato da ...
Ciao a tutti. Avrei una domanda. Se $R$ è una matrice di rotazione di dimensione 3x3, si ha che essendo una isometria i suoi autovalori hanno tutti modulo unitario. Inoltre uno di essi è sempre reale positivo e pari a 1 e l'autospazio associato è l'asse della rotazione. Gli altri due autovalori possono essere entrambi uguali a -1? Se si qual'è la molteplicità geometrica dell'autovalore $\lambda=-1$? In altre parole, qual'è la dimensione dell'autospazio relativo?
Salve ragazzi, vi propongo 2 tipologie di esericizi. in uno ho un dubbio in un altro invece ho lacune enormi.
Allora, vi espongo prima il mio dubbio, che riguardano le applicazioni lineari.
Nel caso io avessi l'applicazione lineare T : $V^4$ -> $V^3$ per cui T(v1)= v1+2v3; T(v2)=v1+2v2+v3; T(v3)=v3; T(v4)=2v1+v2;
Mi sapreste dire la matrice associata nella base canonica per dominio e codominio?
è una matrice 3x4? è questa? M= $((1,1,0,2),(0,2,0,1),(2,1,1,0))$
Ora, l'altro ...
Buon pomeriggio a tutti.
Ho un dubbio sul trovare se i evttori appartenenti a una matrice sono base oppure no...
Per esempio data una matrice:
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
determinare se l'insieme delle colonne è una base di R^3.
Per determinare ciò basta che metto le righe al posto dele colonne e provo a ridurre la matrice e:
- se uno o più vettori si annullano è linearmente dipendente => non è base e non genera
- se non si annulla nessun vettore allora sono linearmente ...
ciao a tutti!!!
sto facendo degli esercizi sui sottospazi vettoriali dato che sono all'inizio vorrei avere delle conferme...
allora l'esercizio in questione è questo:
Sono assegnai i sottospazi vettoriali di $RR^4$
$U={(x,y,z,t): 2x+y=0}$ $W={(x,y,z,t): x+z+t=0}$
determinare la dimensione di $U+W$
Allora io procedo in questo modo posto $y=-2x$ un generico vettore di $U$ è $(2x,-2x,z,t)$ di conseguenza una base di $U$ è ...
Determinare l'equazione parametrica della retta passante per i punti: a(1,2) e b(-1,3)
Ne posso trovrare 2 giusto? Cioè due che sono equivalenti se considero il vettore direzione AB oppure il vettore BA, giusto?
La formula è questa o sbaglio?
x= xa + k(xb - xa)
y= ya + k(yb - ya)
ora se considero il vettore direzione AB dovrebbe essere questa:
x= 1 - 2k
y= 2 + t
E' esatto?
Ciao a tutti! Avrei una domanda.. come si può definire una potenza non intera di una matrice quadrata $A$? Inoltre, se $A$ appartiene a un gruppo $\mathcal{G}$ munito della moltiplicazione matriciale, è vero che $A^t \in \mathcal{G}, \forall \t \in \R$? Quello che vorrei capire è, nel caso $A$ ammetta un logaritmo reale , se vale $e^{ln(A)t}=(e^{ln(A)})^t=A^t$. Grazie mille.. ciaoo
Dunque, non so perchè ma non riesco a risolvere un problema piuttosto banale. Ve lo espongo:
Si hanno un punto V(0,0,4) un piano ∏:z=1 e una retta l: (x,y,z)=(0,0,4)+ʎ(1,2,-1).
Determinare il punto H, proiezione ortogonale di V su ∏.
Pensavo di trovare la retta passante per V con giacitura ortogonale a ∏ e fare l'intersezione con ∏ così da trovare H.
Se non sbagio essendo ∏ un iperpiano, la giacitura ortogonale di ∏ è (0,0,1).
Dunque la retta dovrebbe essere (x,y,z)=(0,0,4)+ʎ(0,0,1), ...
volevo chiedervi una cosa.
Mi ricordo che tempo fa fu postato un metodo molto veloce per calcolarsi le applicazioni lineari quando si impone che il $ker$ sia un certo insieme e l'immagine un altro, attraverso le matrici...
Tipo in questo esercizio...
Si considerino le applicazioni lineari $f:RR^3→RR^4$ e $g:RR^3→RR^4$ tali che
$f(1,1,0)=0,f(1,2,0)=0,f(0,0,−1)=(0,1,1,0)$
$g(0,2,1)=(0,−1,−1,0),g(0,−2,1)=(0,−1,−1,0),g(1,0,0)=0$.
Riesco a calcolare che $f(x,y,z)=(0,-z,-z,0)$ ma il mio è un metodo macchinoso ed in previsione dell'esame mi ...
Salve!
Allora mi trovo davanti a questo sistema lineare..
$\{(x - y + 2z = 3),(x + 3y = 1),(2y - z = 0):}$
Ecco, io so risolvere se il determinante della matrice dei coefficienti mi viene diverso da zero, con Cramer.. ma in questo caso, risulta essere proprio zero!
Non so che fare, ho trovato un esercizio simile svolto in classe, dove al posto di una delle incognite, il prof ci mette un parametro $k$ ma non capisco il criterio che usa; qualcuno mi ha detto di escludere una delle equazioni che è ...
Ciao ragazzi (Misanino e Dissonance mi odieranno, ormai) !
Ho un problema, mi si richiede di dimostrare questa affermazione:
Sia $ F: V->W V,W$ spazi vettoriali.
Dimostrare che F è iniettiva se e solo esiste $ g:W->V t.c. G*F=Id_V $
Dimostrare che F è suriettiva se e solo esiste $ g:W->V t.c. F*G=Id_W $
Ok, sono riuscito a dimostrare l'affermazione con poco sforzo mediante il th. della determinazione di un applicazione lineare su una base o utilizzando le matrici associate (e l'invertibilità ...
Ciao a tutti, visto che ho gia scritto un'altra volta su questo forum e siete stati molto esaurienti, provo a porvi un'altra domanda: devo trovare dei piani paralleli a uno dato, sapendo pero che il sistema di riferimento non e ortonormale, ma che i piani passano per determinati punti che ho imposto io. Ovvero che appartengano a una retta perpendicolare al piano dato. come faccio a generarli?
Confido in una vostra risposta. Grazie.
Che differenza c'è fra un campo ordinato ed un campo ordinato completo?
Non riesco a capire questa domanda di teoria:
1) Come si fa a individuare una base ortonormale di $R^3$ contenente almeno un autovettore?
Ortonormale non sarebbe una base con tutti versori?
Ciao ragazzi..
se ho questa matrice associata all'endomorfismo dato:
$M(f)=((2,-3,1),(1,-2,1),(1,-3,2))$
come faccio a calcolarmi $Imf$?
io so che questa matrice ha rango $2$, quindi $Imf$ sarà data dalle combinazioni lineare di 2 vettori l.i.
per vedere quali delle colonne della matrice sono l.i. uso il metodo degli scarti successivi e ottengo che le prime due colonne sono l.i. ($(2,1,1),(-3,-2,-3)$). Però non capisco perchè nella soluzione dà che $Imf$ è data ...
Un'applicazione, in generale, è una "legge" che associa a ciascun elemento di un insieme, detto dominio, uno ed un solo elemento di un altro, detto codominio (e non necessariamente distinto dal primo).
Applicazione lineare: un'applicazione si dice lineare se, comunque scelti due vettori e due scalari :
a) l'immagine della somma è la somma delle immagini (additività):
b) l'immagine del prodotto per uno scalare è il prodotto per uno scalare dell'immagine ...
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