Dimostrare isomorfismo spazi vettoriali

[Kappagibbi]

Ciao a tutti ragazzi, sono uno studente di fisica al primo anno (un pò imbranato ) e sono nuovo dei vostri !
Innanzitutto complimenti per il portale, davvero ben fatto.
E poi.. Ho una domandina, rivendendo le prove assegnate preparandomi per l'esame di geometria di febbraio ho dei dubbi circa delle dimostrazioni..

Ho questi tre esercizi :

i)Data una base B di V dimostarre che $K_B: V->K^n$ è un isomorfismo di spazi vettoriali, dove $K_B$ è l'applicazione che associa ad ogni vettore la sua matrice coordinate.
ii) Sia A una base del k-spazio vettoriale V e B una base del k-spazio vettoriale W. Dimostrare che $M(A,B): Hom(V.W)->M(mxn,K)$, dove M(A,B) associa ad ogni applicazione una matrice associata rispetto alle basi A e B.


Argh, la dubbio di fondo è .. Come cavolo dimostro un isomorfismo tra spazi vettoriali? Ho provato ad applicare le condizioni ker(f)=(0) e Img(f)=(codominio) ma con scarsi risultati !

Aiuto!

[mistake89]

Dimostra anzitutto che sono applicazioni lineari... Successivamente potresti verificare semplicemente la condizione che il nucleo sia banale per ottenere che essi sono un isomorfismo...oppure che è surgettiva

Nota bene, devi avere tra le ipotesi che gli spazi dove son definite le applicazioni e i rispettivi codomini abbiano la stessa dimensione.