Aiuto applicazione lineare e geometria analitica

[Dani0lo]

Salve ragazzi, vi propongo 2 tipologie di esericizi. in uno ho un dubbio in un altro invece ho lacune enormi.

Allora, vi espongo prima il mio dubbio, che riguardano le applicazioni lineari.
Nel caso io avessi l'applicazione lineare T : $V^4$ -> $V^3$ per cui T(v1)= v1+2v3; T(v2)=v1+2v2+v3; T(v3)=v3; T(v4)=2v1+v2;
Mi sapreste dire la matrice associata nella base canonica per dominio e codominio?

è una matrice 3x4? è questa? M= $((1,1,0,2),(0,2,0,1),(2,1,1,0))$


Ora, l'altro esercizio riguarda la geometria analitica.
Dunque mi viene chiesto di trovare l'equazione cartesiana di un piano nello spazio che passa per il punto A=(1,-1,2) e contiene la retta di equazione parametrica
r: $\{(x=1+2t),(y=-2+t),(z=2+3t):}$

Qui cosa dovrei fare? trovare l'equazione cartesiana di r, trovare l'equazione cartesiana del piano passante per il punto A e poi mettere tutto a sistema con l'equazione cartesiana di r?

Grazie mille per l'aiuto.

[Steven11]

"Dani0lo":
Allora, vi espongo prima il mio dubbio, che riguardano le applicazioni lineari.
Nel caso io avessi l'applicazione lineare T : $V^4$ -> $V^3$ per cui T(v1)= v1+2v3; T(v2)=v1+2v2+v3; T(v3)=v3; T(v4)=2v1+v2;
Mi sapreste dire la matrice associata nella base canonica per dominio e codominio?

Ciao.
C'è un problema di fondo: stai usando i simboli [tex]$v_1, v_2$[/tex] per indicare vettori sia del dominio (cioè che entrano nell'applicazione), sia del codominio.
Cioè [tex]$v_1$[/tex] è vettore sia di [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex] che di [tex]$\mathbb{R}^4$[/tex]?
Precisa meglio, poi vediamo.

Per quello di geometria analitica, potresti appunto ottenere le due equazione che caratterizzano la retta.
Dopodiché impostare l'equazione che descrive il fascio di piano per quella retta, quindi hai un solo parametro, e usare l'informazione del passaggio per il punto.

Per scrivere il fascio hai problemi?

Ciao!

[Dani0lo]

"Steven":
Per quello di geometria analitica, potresti appunto ottenere le due equazione che caratterizzano la retta.
Dopodiché impostare l'equazione che descrive il fascio di piano per quella retta, quindi hai un solo parametro, e usare l'informazione del passaggio per il punto.

Per scrivere il fascio hai problemi?

Ciao!

emm si. cioè ho davanti a me la formula del fascio proprio di piani ma lambda e mu chi sarebbero?

per quanto riguarda l'applicazione lineare stavo cercando di ricordarmi un esercizio. se fosse T(v1) = e1+ 2e3 risolverebbe il problema?

[Steven11]

"Dani0lo":
per quanto riguarda l'applicazione lineare stavo cercando di ricordarmi un esercizio. se fosse T(v1) = e1+ 2e3 risolverebbe il problema?

Resta sempre da vedere chi sono questi [tex]$v_i$[/tex].
E' indispensabile mettersi d'accordo sui simboli.
In ogni caso, vado ad intuito e diciamo che
[tex]$\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$[/tex] sia una base di [tex]$\mathbb{R}^4$[/tex] e
[tex]$\{e_1,e_2,e_3\}$[/tex] sia la base canonica di [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex]
La matrice del tuo primo topic è corretta. E' la matrice di quell'applicazione riferita a queste due basi.

Per quanto riguarda la geometria analitica, i coefficienti [tex]$\mu$[/tex] e [tex]$\lambda$[/tex] che citi sono quelli che caratterizzano le varie rette del fascio.

Le equazioni della retta sono, salvo errori di calcolo,
[tex]$x-2y-5=0$[/tex]
[tex]$3y-z+8=0$[/tex]
I piani contenenti la retta sono quelli nella forma
[tex]$\mu(x-2y-5)+\lambda(3y-z+8)=0$[/tex] al variare di [tex]$\mu$[/tex] e [tex]$\lambda$[/tex].
Ma se guardi bene gli appunti, leggerai che pui ricondurti anche ad un solo parametro... ti trovi?

[Dani0lo]

mmm no mi spiace, non ci sono ancora...
scusami ma ho enormi lacune a riguardo...

comunque quindi la formula del fascio di piani non mi servirebbe a nulla visto che io cerco quel piano che passa anche per il punto A ?