Determinare un endomorfismo
volevo chiedervi una cosa.
Mi ricordo che tempo fa fu postato un metodo molto veloce per calcolarsi le applicazioni lineari quando si impone che il $ker$ sia un certo insieme e l'immagine un altro, attraverso le matrici...
Tipo in questo esercizio...
Si considerino le applicazioni lineari $f:RR^3→RR^4$ e $g:RR^3→RR^4$ tali che
$f(1,1,0)=0,f(1,2,0)=0,f(0,0,−1)=(0,1,1,0)$
$g(0,2,1)=(0,−1,−1,0),g(0,−2,1)=(0,−1,−1,0),g(1,0,0)=0$.
Riesco a calcolare che $f(x,y,z)=(0,-z,-z,0)$ ma il mio è un metodo macchinoso ed in previsione dell'esame mi piacerebbe ricordare il metodo, ma purtroppo quel post non riesco a trovarlo.
Sareste così gentili da illustrarmelo un istante?
Grazie mille
Mi ricordo che tempo fa fu postato un metodo molto veloce per calcolarsi le applicazioni lineari quando si impone che il $ker$ sia un certo insieme e l'immagine un altro, attraverso le matrici...
Tipo in questo esercizio...
Si considerino le applicazioni lineari $f:RR^3→RR^4$ e $g:RR^3→RR^4$ tali che
$f(1,1,0)=0,f(1,2,0)=0,f(0,0,−1)=(0,1,1,0)$
$g(0,2,1)=(0,−1,−1,0),g(0,−2,1)=(0,−1,−1,0),g(1,0,0)=0$.
Riesco a calcolare che $f(x,y,z)=(0,-z,-z,0)$ ma il mio è un metodo macchinoso ed in previsione dell'esame mi piacerebbe ricordare il metodo, ma purtroppo quel post non riesco a trovarlo.
Sareste così gentili da illustrarmelo un istante?
Grazie mille
Risposte
Io lo faccio in un modo, ma non so se è lo stesso che usi tu. Tu come procedi?
Determino le componenti rispetto ai vettori di base di un generico vettore ed applico poi la $f$
Io metto a sistema tre equazioni che in questo caso sarebbero:
${(f(e_1)+f(e_2)=0),(f(e_1)+2f(e_2)=0),(-f(e_3)=f(e_2)+f(e_3)):}$
(si può fare per le proprietà di cui godono le applicazioni lineari)
risolvendolo si ottengono le colonne della matrice associata all'applicazione lineare e da lì ci si scrive l'applicazione
$f(x,y,z,t)=(0,-z,-z,0)$
Ho fatto solamente il primo.
${(f(e_1)+f(e_2)=0),(f(e_1)+2f(e_2)=0),(-f(e_3)=f(e_2)+f(e_3)):}$
(si può fare per le proprietà di cui godono le applicazioni lineari)
risolvendolo si ottengono le colonne della matrice associata all'applicazione lineare e da lì ci si scrive l'applicazione
$f(x,y,z,t)=(0,-z,-z,0)$
Ho fatto solamente il primo.
Grazie mille, non conoscevo questo metodo...
Prova a fare la verifica per il secondo esercizio che hai postato, svolgendolo con il mio metodo e con il tuo (che in realtà non mi è molto chiaro 
!)... Poi mi fai sapere se danno lo stesso risultato! (mi servono conferme, ho troppi dubbi!)
!)... Poi mi fai sapere se danno lo stesso risultato! (mi servono conferme, ho troppi dubbi!)
"Paola90":
Io metto a sistema tre equazioni che in questo caso sarebbero:
${(f(e_1)+f(e_2)=0),(f(e_1)+2f(e_2)=0),(-f(e_3)=f(e_2)+f(e_3)):}$
(si può fare per le proprietà di cui godono le applicazioni lineari)
risolvendolo si ottengono le colonne della matrice associata all'applicazione lineare e da lì ci si scrive l'applicazione
$f(x,y,z,t)=(0,-z,-z,0)$
Ho fatto solamente il primo.
Le prime 2 equazioni vanno bene e mi dicono che $f(e_1)=0$ e che $f(e_2)=0$
L'ultima equazione però non ha senso.
Da dove l'hai tratta?
E poi l'ultima cosa che hai scritto (cioè $f(x,y,z,t)=(0,-z,-z,0)$) è proprio sbagliata perchè tu hai scritto che $f:RR^4 rarr RR^4$ mentre il dominio di $f$ è $RR^3$!
Io invece dico che hai $f(e_1)=0$ e $f(e_2)=0$ per le prime 2 equazioni.
Poi $f(-e_3)=(0,1,1,0)$.
Quindi $f(x,y,z)=f(xe_1+ye_2+ze_3)=xf(e_1)+yf(e_2)+zf(e_3)=0+0-zf(-e_3)=-z(0,1,1,0)=(0,-z,-z,0)$
giustissimo, mi sono distratta e ho aggiunto una $t$ di troppo. Perchè non ha senso? $f(0,0,-1)=(0,1,1,0)$ quindi $f(0e_1+0e_2-e_3)=e_2+e_3$, è un'applicazione lineare e quindi possiamo dire che $f(-e_3)=-f(e_3)=e_1+e_3$.
Dove sbaglio?
Dove sbaglio?
Quello che è a sinistra dell'uguale ha senso, ma quello che è a destra no!
Come puoi dire che $f(-e_3)=(0,1,1,0)=e_2+e_3$?
O almeno non si tratta dello stesso $e_3$ che c'è a sinistra dell'uguale.
Infatti l'$e_3$ a sinistra dell'uguale è un vettore di $RR^3$, mentre l'$e_3$ che consideri ora è un vettore di $RR^4$!
Come puoi dire che $f(-e_3)=(0,1,1,0)=e_2+e_3$?
O almeno non si tratta dello stesso $e_3$ che c'è a sinistra dell'uguale.
Infatti l'$e_3$ a sinistra dell'uguale è un vettore di $RR^3$, mentre l'$e_3$ che consideri ora è un vettore di $RR^4$!
Ok, ho capito, l'errore è solo formale, basta dare nomi diversi (usare gli indici ad esempio) e va tutto bene, è corretto?
L'errore è formale.
Ma supponendo di cambiare allora i nomi, non capisco allora a cosa ti serva scrivere la terza equazione come $f(e_3)=f(e'_2)+f(e'_3)$ invece che direttamente $f(e_3)=(0,1,1,0)$?
Ma supponendo di cambiare allora i nomi, non capisco allora a cosa ti serva scrivere la terza equazione come $f(e_3)=f(e'_2)+f(e'_3)$ invece che direttamente $f(e_3)=(0,1,1,0)$?
mi sono appena accorta di aver sbagliato parecchie cose nel primo post, allora...io posso scrivere $f(-e_3)=e'_2+e'_3$. ...(??) (credo che così sia corretto, l'applicazione non c'entrava più nulla.)
Sì.
Così puoi scrivere.
Ma a cosa ti serve?
Così puoi scrivere.
Ma a cosa ti serve?
Se io so come un'applicazione "trasforma" dei vettori, posso capire come funziona l'applicazione stessa, costruendo una matrice associata alla f rispetto alla base canonica e da lì esplicitarla. Se ad esempio so che $f(2,3)=(1,3,4)$ allora posso dire che $2f(e_1)+3f(e_2)=e'_1+3e'_2+4e'_3$, ovviamente serve anche un altro vettore di cui conosciamo l'immagine, mettendo a sistema le due equazioni sappiamo come si comporta l'applicazione sugli elementi della base canonica. Questo è quello che ho capito io, ma posso non aver capito nulla (mi scuso per tutti gli errori nel mio primo post,sono troppo distratta).
Sì va bene.
Ma è proprio ciò che ho fatto io nel mio post.
Ho determinato come agisce $f$ sulla base $e_1,e_2.e_3$ di $RR^3$ e ho così ricavato come agisce su ogni vettore
Ma è proprio ciò che ho fatto io nel mio post.
Ho determinato come agisce $f$ sulla base $e_1,e_2.e_3$ di $RR^3$ e ho così ricavato come agisce su ogni vettore
ho capito, ma, ad esempio, il passaggio diretto si può fare solamente se si agisce su vettori "semplici" (mi verrebbe da dire su vettori della base canonica) oppure no? il caso generale come funziona? io ho cercato di capire bene questo metodo perchè quello che hai usato tu a volte non mi convince (troppi dubbi, da togliere prima dell'orale!)
"Paola90":
ho capito, ma, ad esempio, il passaggio diretto si può fare solamente se si agisce su vettori "semplici" (mi verrebbe da dire su vettori della base canonica) oppure no? il caso generale come funziona? io ho cercato di capire bene questo metodo perchè quello che hai usato tu a volte non mi convince (troppi dubbi, da togliere prima dell'orale!)
Facciamo così.
Prova a svolgere il secondo esercizio che è stato postato col tuo metodo.
Poi io guardo cosa ti viene e ti spiego come agirei io.
Va bene?
Perfetto!
$g(0,2,1)=(0,-1,-1,0)$ --------- $2g(e_2)+g(e_3)=-e'_2-e'_3$
$g(0,-2,1)=(0,-1,-1,0)$ -------- $-2g(e_2)+g(e_3)=-e'_2-e'_3$
$g(1,0,0)=(0,0,0,0)$ ---------- $g(e_1)=0$
risolvo il sistema con le tre equazioni e ottengo
$g(e_1)=0,g(e_2)=0,g(e_3)=-e_2-e_3$
La matrice quindi è $((0,0,0),(0,0,-1),(0,0,-1),(0,0,0))$
$f(x,y,z)=(0,-z,-z,0)$
$g(0,2,1)=(0,-1,-1,0)$ --------- $2g(e_2)+g(e_3)=-e'_2-e'_3$
$g(0,-2,1)=(0,-1,-1,0)$ -------- $-2g(e_2)+g(e_3)=-e'_2-e'_3$
$g(1,0,0)=(0,0,0,0)$ ---------- $g(e_1)=0$
risolvo il sistema con le tre equazioni e ottengo
$g(e_1)=0,g(e_2)=0,g(e_3)=-e_2-e_3$
La matrice quindi è $((0,0,0),(0,0,-1),(0,0,-1),(0,0,0))$
$f(x,y,z)=(0,-z,-z,0)$
Tu fai esattamente la stessa cosa che faccio io.
Solo che tu "ti complichi un po' la vita" andando a definire $e'_1$ ed $e'_2$ qundo basterebbe lasciare scritto
$2g(e_2)+g(e_3)=(0,-1,-1,0)$
$-2g(e_2)+g(e_3)=(0,-1,-1,0)$
e si arriva alle stesse identiche conclusioni.
Però non cambia nulla. Se tu sei più comoda scrivendo $e'_1$ ed $e'_2$ va benissimo e il tuo ragionamento è identico al mio, quindi vai tranquilla all'esame.
L'unica cosa correggi dopo la frase "risolvo il sistema con le tre equazioni e ottengo" perchè hai scritto $g(e_3)=-e_2-e_3$ invece di $g(e_3)=-e'_2-e'_3$
Ciao
Solo che tu "ti complichi un po' la vita" andando a definire $e'_1$ ed $e'_2$ qundo basterebbe lasciare scritto
$2g(e_2)+g(e_3)=(0,-1,-1,0)$
$-2g(e_2)+g(e_3)=(0,-1,-1,0)$
e si arriva alle stesse identiche conclusioni.
Però non cambia nulla. Se tu sei più comoda scrivendo $e'_1$ ed $e'_2$ va benissimo e il tuo ragionamento è identico al mio, quindi vai tranquilla all'esame.
L'unica cosa correggi dopo la frase "risolvo il sistema con le tre equazioni e ottengo" perchè hai scritto $g(e_3)=-e_2-e_3$ invece di $g(e_3)=-e'_2-e'_3$
Ciao
grazie mille!
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