Problema omomorfismi inj e surj applicazioni lineari

[FrederichN.]

Ciao ragazzi (Misanino e Dissonance mi odieranno, ormai) !

Ho un problema, mi si richiede di dimostrare questa affermazione:


Sia $ F: V->W V,W$ spazi vettoriali.
Dimostrare che F è iniettiva se e solo esiste $ g:W->V t.c. G*F=Id_V $
Dimostrare che F è suriettiva se e solo esiste $ g:W->V t.c. F*G=Id_W $

Ok, sono riuscito a dimostrare l'affermazione con poco sforzo mediante il th. della determinazione di un applicazione lineare su una base o utilizzando le matrici associate (e l'invertibilità delle stesse) ma nella dimostrazione non riesco a prescindere dal definire le applicazioni (oltre che come inj/surj da ipotesi) come isomorfismi ( e quindi dal definire gli spazi vettoriali equidimensionali).

Mh.. Mi sfuggirà mica qualcosa?

[misanino]

"FrederichN.":Ciao ragazzi (Misanino e Dissonance mi odieranno, ormai) !

Ho un problema, mi si richiede di dimostrare questa affermazione:


Sia $ F: V->W V,W$ spazi vettoriali.
Dimostrare che F è iniettiva se e solo esiste $ g:W->V t.c. G*F=Id_V $
Dimostrare che F è suriettiva se e solo esiste $ g:W->V t.c. F*G=Id_W $

Ok, sono riuscito a dimostrare l'affermazione con poco sforzo mediante il th. della determinazione di un applicazione lineare su una base o utilizzando le matrici associate (e l'invertibilità delle stesse) ma nella dimostrazione non riesco a prescindere dal definire le applicazioni (oltre che come inj/surj da ipotesi) come isomorfismi ( e quindi dal definire gli spazi vettoriali equidimensionali).

Mh.. Mi sfuggirà mica qualcosa?

Ti dimostro la prima cosa cioè che F è iniettiva se e solo esiste $ G:W->V t.c. G*F=Id_V $.
Poi puoi provare tu a mostrare l'altra.
E' un se e solo se e quindi devo dimostrare 2 implicazioni.

Comincio a mostrare che se F è iniettiva, allora esiste $ G:W->V t.c. G*F=Id_V $.
Sia $w\inW$. Allora o w è nell'immagine di F o no. Se w non è nell'immagine di F allora pongo $G(w)=0$.
Se w è nell'immagine di F, allora, dato che F è iniettiva, esiste un unico $v\inV$ tale che $F(v)=w$.
Definisco allora $G(w)=v$.
Allora $G*F(v)=G(w)=v$ e quindi $G*F=Id_V$

Mostro ora l'implicazione inversa, cioè se esiste $ G:W->V t.c. G*F=Id_V $ allora F è iniettiva.
Siano $v_1,v_2\inV$ tali che $F(v_1)=F(v_2)$
Allora $G*F(v_1)=G*F(v_2)$
Allora $v_1=v_2$ e quindi F iniettiva

[FrederichN.]

ARGH! Misa sei sempre illuminante (ed il numero di birre che ti devo cresce esponenzialmente).