Autovalori di una matrice di rotazione in R^3.

[onailativ]

Ciao a tutti. Avrei una domanda. Se $R$ è una matrice di rotazione di dimensione 3x3, si ha che essendo una isometria i suoi autovalori hanno tutti modulo unitario. Inoltre uno di essi è sempre reale positivo e pari a 1 e l'autospazio associato è l'asse della rotazione. Gli altri due autovalori possono essere entrambi uguali a -1? Se si qual'è la molteplicità geometrica dell'autovalore $\lambda=-1$? In altre parole, qual'è la dimensione dell'autospazio relativo?

[onailativ]

La risposta era semplice pensando al significato geometrico di autovalore e autospazio. Le uniche matrici di rotazione che hanno autovalore $-1$ sono quelle per cui $Ax=-x$ per qualche $x$. Cioè le rotazioni di $(k+1)\pi, k \in \mathbb{Z}$. L'autospazio in tal caso è il piano ortogonale all'asse di rotazione e passante per l'origine e dunque ha molteplicità geometrica pari a 2.

[deneb1]

non è detto che passi per l'origine, le isometrie non per forza fissano 0, correggimi se sbaglio.

[onailativ]

Esattamente. Le rotazioni sono isometrie, ma non tutte le isometrie sono rotazioni. Si dimostra che se $f$ è un isometria allora è una funzione lineare affine, cioè del tipo $f(x)=Ax+t$ con $A$ matrice ortogonale e $t$ vettore. Se $det(A)=1$ allora $A$ è una matrice di rotazione attorno ad un asse passante per l'origine. Io mi riferivo alle particolari isometrie del tipo $f(x)=Ax$ con A matrice di rotazione. Ovviamente una rotazione attorno ad un asse qualunque non passante per l'origine è una isometria che non fissa l'origine, ma in tal caso si esprime come funzione lineare affine $Ax+t$ dove $A$ è una rotazione che fissa l'origine.