Mappe conformi

[fu^2]

Ciao a tutti!

Stavo risolvendo alcuni esercizi sulle mappe conformi,

U n mappa [tex]F:\Omega\subset\mathbb{C}\to\mathbb{C}[/tex] olomorfa su [tex]\Omega[/tex] tale che [tex]F'(z)\neq 0[/tex] per ogni scelta di [tex]z\in\Omega[/tex] si dice conforme.

In particolare [tex]F[/tex] conserva gli angoli, i.e. che prese due curve differenziabili [tex]\sigma,\beta:I\to\Omega[/tex] tali che esiste un punto [tex]t_0\in I[/tex] per cui [tex]\sigma(t_0)=\beta(t_0)[/tex], allora l'angolo formato da queste due curve in [tex]t_0[/tex] non varia se consideriamo l'angolo formato da [tex]F(\sigma(t)),F(\beta(t))[/tex] in [tex]t_0[/tex].

L'esercizio mi chiede se esiste una mappa conforme che trasforma il cerchio unitario nel quadrato (prendendoli o entrambi aperti o entrambi chiusi).

Ho qualche dubbio in riguardo, cioè se considero gli angoli che formano le circonferenze con i loro vettori normali, questi sono angoli retti, quindi dovranno andare in curve che si incontrano in modo perpendicolare tra loro nel quadrato (idealmente posso pensare che vado a finire in segmenti orizzontali e verticali).

Tutto questo va bene fino a quando non arrivo a considerare l'origine. Li si rompe il gioco di circonferenze e normali in quanto non ho scelte univoche su esse, cosa che ho sempre nel quadrato se prendo linee orizzontali e verticali.

Quindi mi verrebbe da pensare che la mappa richiesta non esiste.

Voi che ne pensate? Sono un pò perplesso, se non altro perchè la mia idea non mi convice pienamente...

[NightKnight1]

Ma non esiste il teorema di uniformizzazione di Riemann che asserisce che ogni aperto semplicemente connesso di $CC$ e diverso da $CC$ è biolomorfo alla palla unitaria?

[NightKnight1]

Ho sbagliato il nome del teorema, ma l'enunciato è giusto; sono andato a vedere sul Cartan e lì lo chiama "Fundamental Theorem of Conformal Representation".

[fu^2]

o anche conosciuto come Teorema della mappa aperta di Riemann, l'ho visto qualche giorno dopo la scrittura del post

Grazie comunque della risposta.