Dubbi su base e dimensione di sottospazi vettoriali
ciao a tutti!!!
sto facendo degli esercizi sui sottospazi vettoriali dato che sono all'inizio vorrei avere delle conferme...
allora l'esercizio in questione è questo:
Sono assegnai i sottospazi vettoriali di $RR^4$
$U={(x,y,z,t): 2x+y=0}$ $W={(x,y,z,t): x+z+t=0}$
determinare la dimensione di $U+W$
Allora io procedo in questo modo posto $y=-2x$ un generico vettore di $U$ è $(2x,-2x,z,t)$ di conseguenza una base di $U$ è
$B_u={(1,-1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}$ quindi la dimensione di $U$ è tre visto che i tre vettori sono indipendenti.
procedo nello stesso modo per determinare una base e la dimensione di $W$ e trovo che una base di $W$ è
$B_w={(0,1,0,0),(-1,0,1,0),(-1,0,0,1)}$ quindi la dimensione di $W$ è tre visto che i tre vettori sono indipendenti.
ora per trovare la dimensione di $U+W$ metto insieme i sei vettori delle due basi e mi viene che i sei vettori sono indipendenti che mi sembra strano ora mi chiedo tutto il ragionamento che ho fatto è completamente sbagliato?
vi ringrazio anticipatamente!
sto facendo degli esercizi sui sottospazi vettoriali dato che sono all'inizio vorrei avere delle conferme...
allora l'esercizio in questione è questo:
Sono assegnai i sottospazi vettoriali di $RR^4$
$U={(x,y,z,t): 2x+y=0}$ $W={(x,y,z,t): x+z+t=0}$
determinare la dimensione di $U+W$
Allora io procedo in questo modo posto $y=-2x$ un generico vettore di $U$ è $(2x,-2x,z,t)$ di conseguenza una base di $U$ è
$B_u={(1,-1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}$ quindi la dimensione di $U$ è tre visto che i tre vettori sono indipendenti.
procedo nello stesso modo per determinare una base e la dimensione di $W$ e trovo che una base di $W$ è
$B_w={(0,1,0,0),(-1,0,1,0),(-1,0,0,1)}$ quindi la dimensione di $W$ è tre visto che i tre vettori sono indipendenti.
ora per trovare la dimensione di $U+W$ metto insieme i sei vettori delle due basi e mi viene che i sei vettori sono indipendenti che mi sembra strano ora mi chiedo tutto il ragionamento che ho fatto è completamente sbagliato?
vi ringrazio anticipatamente!
Risposte
No a parte quando dici che i $6$ vettori sono linearmente indipendenti... è proprio impossibile, senza bisogno di far calcoli.
Lo spazio somma è un sottospazio di $RR^4$ e in quanto sottospazio può avere al più la dimensione di $RR^4$ che è per l'appunto $4$, quindi va da sè che hai sbagliato qualcosa nel calcolo della lineare indipendenza.
Lo spazio somma è un sottospazio di $RR^4$ e in quanto sottospazio può avere al più la dimensione di $RR^4$ che è per l'appunto $4$, quindi va da sè che hai sbagliato qualcosa nel calcolo della lineare indipendenza.
infatti per quello mi sono bloccato perchè mi sono accorto anche io che è impossibile che la dimensione fosse sei...
però non riesco a trovare l'errore...
però non riesco a trovare l'errore...
beh ad esempio si osserva che $(-1,0,0,1)=(-1,0,1,0)-(0,0,1,0)+(0,0,0,1)$ e quindi già questo è linearmente dipendente...
Comunque in generale la regola è sempre la stessa... costruisci una combinazione lineare nulla e risolvi il sistema!
Comunque in generale la regola è sempre la stessa... costruisci una combinazione lineare nulla e risolvi il sistema!
grazie per i chiarimenti...
però io procedevo in questo modo:
ho costruito la matrice $A=$$((1,0,0,0,-1,-1),(-1,0,0,1,0,0),(0,1,0,0,1,0),(0,0,1,0,0,1))$ e poi mi sono andato a calcolare il rango che è uguale a 4 quindi massimo per questa matrice per questo motivo assumevo che i vettori erano linearmente indipendenti...
però io procedevo in questo modo:
ho costruito la matrice $A=$$((1,0,0,0,-1,-1),(-1,0,0,1,0,0),(0,1,0,0,1,0),(0,0,1,0,0,1))$ e poi mi sono andato a calcolare il rango che è uguale a 4 quindi massimo per questa matrice per questo motivo assumevo che i vettori erano linearmente indipendenti...
Rango $4$ vuol dire che i vettori linearmente indipendenti son $4$...
cavolo è vero mi sono confuso...
quindi i vettori linearmente indipendenti sono 4 ne segue che la dimensione di $U+W$ è proprio 4 e che per costruire una base devo "scartare" 2 vettori che sono combinazione lineare degli altri...
giusto?
quindi i vettori linearmente indipendenti sono 4 ne segue che la dimensione di $U+W$ è proprio 4 e che per costruire una base devo "scartare" 2 vettori che sono combinazione lineare degli altri...
giusto?
esatto!
grazie mille 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo