Trasformazioni lineari e basi
Salve. Un piccolo dubbio di sfondo teorico:
Si può pensare a una trasformazione lineare in modo indipendente dalle basi di riferimento? La domanda sorge dalla considerazione che in ogni caso non è possibile dare una descrizione della funzione senza definire un riferimento rispetto a cui porre gli elementi in "input" e "output" della funzione, d'altra parte intuitivamente direi che in ogni caso la funzione stessa va oltre le sue basi, poiché descrive la trasformazione di un oggetto in modo sempre uguale, che poi noi per esprimere dobbiamo necessariamente porre in relazione a una base. Dato che posta così la questione sembra quasi vertere più sul filosofico probabilmente non ha molto senso, ma non si sa mai =). Per dare un'immagine alla questione che mi sono posto: ponendosi per semplicità in uno spazio euclideo bidimensionale, e considerando un oggetto, ad esempio una circonferenza; poniamo che la funzione $f$ sia un "ingrandimento" della circonferenza. Ora, indipendentemente da dove poniamo gli assi, la trasformazione è sempre identica, cambia solo come la si vede.
E conseguentemente, avrebbe senso definire una funzione (diciamo $g$) che sia una sorta di "abstract" di $f$, ovvero una funzione definita come $g: B_(RR^n)xxB_(RR^n) -> A_B(f)$ definendo $A_B(f)$ l'insieme di tutte le rappresentazioni della funzione $f$ (al variare delle basi di riferimento) e con $B_(RR^n)$ l'insieme della basi di $RR^n$ (dove ci poniamo per semplicità)?
Grazie
Si può pensare a una trasformazione lineare in modo indipendente dalle basi di riferimento? La domanda sorge dalla considerazione che in ogni caso non è possibile dare una descrizione della funzione senza definire un riferimento rispetto a cui porre gli elementi in "input" e "output" della funzione, d'altra parte intuitivamente direi che in ogni caso la funzione stessa va oltre le sue basi, poiché descrive la trasformazione di un oggetto in modo sempre uguale, che poi noi per esprimere dobbiamo necessariamente porre in relazione a una base. Dato che posta così la questione sembra quasi vertere più sul filosofico probabilmente non ha molto senso, ma non si sa mai =). Per dare un'immagine alla questione che mi sono posto: ponendosi per semplicità in uno spazio euclideo bidimensionale, e considerando un oggetto, ad esempio una circonferenza; poniamo che la funzione $f$ sia un "ingrandimento" della circonferenza. Ora, indipendentemente da dove poniamo gli assi, la trasformazione è sempre identica, cambia solo come la si vede.
E conseguentemente, avrebbe senso definire una funzione (diciamo $g$) che sia una sorta di "abstract" di $f$, ovvero una funzione definita come $g: B_(RR^n)xxB_(RR^n) -> A_B(f)$ definendo $A_B(f)$ l'insieme di tutte le rappresentazioni della funzione $f$ (al variare delle basi di riferimento) e con $B_(RR^n)$ l'insieme della basi di $RR^n$ (dove ci poniamo per semplicità)?
Grazie
Risposte
Forse non ho afferrato in pieno la tua domanda. Provo comunque a risponderti...
La risposta a questa domanda
La trasformazione lineare tra due spazi vettoriali esiste indipendentemente dall'aver fissato o meno le basi nei due spazi di arrivo o di partenza.
Visto che l'hai tirato in ballo, consideriamo per esempio $RR^2$ e la rotazione $R$ di un certo angolo (per esempio $\theta_0$) in senso antiorario attorno all'origine.
E' una trasformazione lineare ben nota che è definita indipendentemente dal fatto che potremmo calcolarla sui vettori di una base di $RR^2$ ed in tal caso la conosceremmo per intero.
Certo, sapere che per definire un'applicazione lineare basta definirla su una base ci dà qualche vantaggio (come per esempio, possiamo riuscire a calcolare la matrice associata...) ma non è indispensabile per definirla.
Non ho capito cosa intendi quando dici che "$f$ è un ingrandimento della circonferenza", ma l'ultima frase è pienamente condivisibile.
La trasformazione è la stessa, indipendentemente da quale base scegliamo.
La scelta di una base, però, è utile quando dobbiamo fare i conti.
Pensa per esempio a quando studiamo la meccanica classica (chissà perché dal tuo nick mi viene in mente di farti questo esempio).
Quando studiamo il moto di un oggetto, ci basta conoscere le forze, la massa e compagnia bella.
Ma la traiettoria è quella che è, indipendentemente da quale riferimento scegliamo.
Ma la scelta di un riferimento è indispensabile se vogliamo studiare il moto dell'oggetto.
Dobbiamo capire se questa applicazione gode di qualche proprietà rilevante però
Spero di aver risposto alla tua domanda...ciao!
La risposta a questa domanda
"Pdirac":è semplicemente: sì
Si può pensare a una trasformazione lineare in modo indipendente dalle basi di riferimento?
La trasformazione lineare tra due spazi vettoriali esiste indipendentemente dall'aver fissato o meno le basi nei due spazi di arrivo o di partenza.
Visto che l'hai tirato in ballo, consideriamo per esempio $RR^2$ e la rotazione $R$ di un certo angolo (per esempio $\theta_0$) in senso antiorario attorno all'origine.
E' una trasformazione lineare ben nota che è definita indipendentemente dal fatto che potremmo calcolarla sui vettori di una base di $RR^2$ ed in tal caso la conosceremmo per intero.
Certo, sapere che per definire un'applicazione lineare basta definirla su una base ci dà qualche vantaggio (come per esempio, possiamo riuscire a calcolare la matrice associata...) ma non è indispensabile per definirla.
"Pdirac":
Per dare un'immagine alla questione che mi sono posto: ponendosi per semplicità in uno spazio euclideo bidimensionale, e considerando un oggetto, ad esempio una circonferenza; poniamo che la funzione $f$ sia un "ingrandimento" della circonferenza. Ora, indipendentemente da dove poniamo gli assi, la trasformazione è sempre identica, cambia solo come la si vede.
Non ho capito cosa intendi quando dici che "$f$ è un ingrandimento della circonferenza", ma l'ultima frase è pienamente condivisibile.
La trasformazione è la stessa, indipendentemente da quale base scegliamo.
La scelta di una base, però, è utile quando dobbiamo fare i conti.
Pensa per esempio a quando studiamo la meccanica classica (chissà perché dal tuo nick mi viene in mente di farti questo esempio
).Quando studiamo il moto di un oggetto, ci basta conoscere le forze, la massa e compagnia bella.
Ma la traiettoria è quella che è, indipendentemente da quale riferimento scegliamo.
Ma la scelta di un riferimento è indispensabile se vogliamo studiare il moto dell'oggetto.
"Pdirac":Certo, avrebbe senso
E conseguentemente, avrebbe senso definire una funzione (diciamo $g$) che sia una sorta di "abstract" di $f$, ovvero una funzione definita come $g: B_(RR^n)xxB_(RR^n) -> A_B(f)$ definendo $A_B(f)$ l'insieme di tutte le rappresentazioni della funzione $f$ (al variare delle basi di riferimento) e con $B_(RR^n)$ l'insieme della basi di $RR^n$ (dove ci poniamo per semplicità)?
Dobbiamo capire se questa applicazione gode di qualche proprietà rilevante però
Spero di aver risposto alla tua domanda...ciao!
Innanzitutto grazie per la risposta =).
(Nel rispondere mi sono spuntate fuori anche un altro paio di domandine, giusto per rincarare la dose!)
1)Prima di tutto una cosetta: ma "applicazione", "trasformazione", "funzione" e a volte anche "mappa" sono tutti nomi diversi della stessa cosa?
2)Dato che ha senso pensare ad un'applicazione (a questo punto la linearità immagino sia superflua?) indipendentemente dalle basi usate per descriverla, sorge spontanea la domanda: cos'è un'applicazione? voglio dire, ci sono modi per descriverla senza ricorrere a basi e compagnia bella (entrando nel merito dell'esempio fisico, si potrebbe tirare in ballo il principio di relatività: l'oggetto e il suo moto indubbiamente sono sempre lì, anche se io li guardo da un'altra direzione, ma posso davvero dire che esistano a prescindere dal sistema di riferimento?)? La mia "proposta" della funzione $g$ come sopra definita, era un modo per cercare una definizione che mi sembra più completa di una trasformazione: infatti è in un certo senso "l'essenza" (ok forse è un termine un po' metafisico ma mi sembra che renda l'idea =D ) della funzione, prescindendo dalla sua descrizione in relazione a una base.
3) Un vettore si definisce semplicemente come un elemento di uno spazio vettoriale (almeno così mi è parso di capire!), d'altra parte analogamente ai discorsi di cui sopra, ha senso parlare di un vettore indipendentemente da un sistema di riferimento? Un vettore è interamente descritto (credo?) da un insieme di coordinate associate ad una base, ma dire che un vettore è "quella cosa che rimane uguale nonostante il cambio di base" non suona molto rigorosa matematicamente...
(Nel rispondere mi sono spuntate fuori anche un altro paio di domandine, giusto per rincarare la dose!)
1)Prima di tutto una cosetta: ma "applicazione", "trasformazione", "funzione" e a volte anche "mappa" sono tutti nomi diversi della stessa cosa?
2)Dato che ha senso pensare ad un'applicazione (a questo punto la linearità immagino sia superflua?) indipendentemente dalle basi usate per descriverla, sorge spontanea la domanda: cos'è un'applicazione? voglio dire, ci sono modi per descriverla senza ricorrere a basi e compagnia bella (entrando nel merito dell'esempio fisico, si potrebbe tirare in ballo il principio di relatività: l'oggetto e il suo moto indubbiamente sono sempre lì, anche se io li guardo da un'altra direzione, ma posso davvero dire che esistano a prescindere dal sistema di riferimento?)? La mia "proposta" della funzione $g$ come sopra definita, era un modo per cercare una definizione che mi sembra più completa di una trasformazione: infatti è in un certo senso "l'essenza" (ok forse è un termine un po' metafisico ma mi sembra che renda l'idea =D ) della funzione, prescindendo dalla sua descrizione in relazione a una base.
3) Un vettore si definisce semplicemente come un elemento di uno spazio vettoriale (almeno così mi è parso di capire!), d'altra parte analogamente ai discorsi di cui sopra, ha senso parlare di un vettore indipendentemente da un sistema di riferimento? Un vettore è interamente descritto (credo?) da un insieme di coordinate associate ad una base, ma dire che un vettore è "quella cosa che rimane uguale nonostante il cambio di base" non suona molto rigorosa matematicamente...
1) Sì, tutti sinonimi. Forse "trasformazione" lo userei più come "isomorfismo" (fra strutture, non necessariamente fra spazi vettoriali).
2) E no, se togli la linearità, per definire un'applicazione fra spazi vettoriali non ti basta definirla sui vettori di una base.
Mi è parso di capire che, data un'applicazione, vuoi capire qual è la caratteristica che ti permette di definirla per intero.
Per esempio, se hai un'applicazione lineare fra spazi vettoriali di cui sono fissata le basi, ti basta capire come agisce l'applicazione sulla base e, per linearità, l'hai definita ovunque.
Beh, se si tratta di un'applicazione generica fra insiemi, non hai molta scelta. Devi definire come questa applicazione agisce su tutto l'insieme di partenza.
Se hai qualche altra struttura aggiuntiva sull'insieme di partenza e richiedi qualche condizione sulla linearità, forse puoi "cogliere l'essenza" ma bisogna stabilirlo caso per caso, a seconda della struttura.
Si possono fare anche altri esempi, non necessariamente con la struttura di sazio vettoriale...
3)
2) E no, se togli la linearità, per definire un'applicazione fra spazi vettoriali non ti basta definirla sui vettori di una base.
Mi è parso di capire che, data un'applicazione, vuoi capire qual è la caratteristica che ti permette di definirla per intero.
Per esempio, se hai un'applicazione lineare fra spazi vettoriali di cui sono fissata le basi, ti basta capire come agisce l'applicazione sulla base e, per linearità, l'hai definita ovunque.
Beh, se si tratta di un'applicazione generica fra insiemi, non hai molta scelta. Devi definire come questa applicazione agisce su tutto l'insieme di partenza.
Se hai qualche altra struttura aggiuntiva sull'insieme di partenza e richiedi qualche condizione sulla linearità, forse puoi "cogliere l'essenza" ma bisogna stabilirlo caso per caso, a seconda della struttura.
Si possono fare anche altri esempi, non necessariamente con la struttura di sazio vettoriale...
3)
"Pdirac":Sì, ha senso.
... d'altra parte analogamente ai discorsi di cui sopra, ha senso parlare di un vettore indipendentemente da un sistema di riferimento?
"Pdirac":Non sarà rigoroso matematicamente, ma è il modo in cui ci è stato descritto il concetto di vettore da un nostro prof. di fisica, in un corso relativamente avanzato quando di vettori ne avevamo già sentite abbastanza
Un vettore è interamente descritto (credo?) da un insieme di coordinate associate ad una base, ma dire che un vettore è "quella cosa che rimane uguale nonostante il cambio di base" non suona molto rigorosa matematicamente...
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