Quesito su Retta
Salve a tutti avevo un quesito: Come posso calcolare la retta passante per un punto $ P(1,1,1) $ ,parallela al piano $ x+y+2z=1 $ e incidente con l'asse z ?
Vi ringrazio anticipatamente per l'attenzione ciao!
Vi ringrazio anticipatamente per l'attenzione ciao!
Risposte
Hai presente la proposizione sulla reciproca posizione tra piano e retta?
O hai dubbi su questo argomento?
Prova a ragionare un pò sulle condizioni da imporre per avere una retta parallela al piano dato.
O hai dubbi su questo argomento?
Prova a ragionare un pò sulle condizioni da imporre per avere una retta parallela al piano dato.
Allora la retta per essere parallela rispetto al piano il prodotto scalare del vettore direttore della retta e la normale del piano deve essere uguale a 0 giusto??? Poi per fare in modo che sia incidente con l'asse z come devo fare?
Si esatto ma esiste anche questa condizione:
se $ r: { ( Ax+By+Cz+D=0 ),( A'x+B'y+C'z+D'=0 ):} $
allora $r$ è parallela al piano dato $ hArr r( ( A , B ,C ),( A' , B' ,C' ),( 1 , 1 , 2 ) )=2 $
Per l' incidenza con l' asse $z$ devi applicare il teorema sulla reciproca posizione tra due rette.
se $ r: { ( Ax+By+Cz+D=0 ),( A'x+B'y+C'z+D'=0 ):} $
allora $r$ è parallela al piano dato $ hArr r( ( A , B ,C ),( A' , B' ,C' ),( 1 , 1 , 2 ) )=2 $
Per l' incidenza con l' asse $z$ devi applicare il teorema sulla reciproca posizione tra due rette.
Scusa non ho capito come mai la matrice che hai indicato deve essere uguale a 2.....e poi come lo applico il teorema di reciproca posizione tra due rette?
Il rango deve essere uguale a 2.
Per il teorema sulla reciproca posizione tra due rette devi ricordare quale condizione deve essere soddisfatta per avere l' incidenza.
Per il teorema sulla reciproca posizione tra due rette devi ricordare quale condizione deve essere soddisfatta per avere l' incidenza.
Ok grazie
Ok grazie
In alternativa, puoi usare le condizioni che ti sono date per identificare il vettore direzione della retta.
Scusa in che senso? Poi un altra cosa: per calcolare invece la distanza di una retta da un piano?
Le condizioni "Passa per $P$", "Parallelo al piano $\pi$" e "Incidente a $z$" ti danno abbastanza condizioni per trovare le tre incognite $x,y,z$ del vettore $\vec{u}$ che è direzione della retta $r$.
Per la distanza, considera la minima distanza tra un punto della retta ed uno del piano.
Per la distanza, considera la minima distanza tra un punto della retta ed uno del piano.
Il vettore direttore dell'asse $z$ è $(0,0,1)$ giusto?
Certo!
Scusa è da poco che ho incominciato a studiare questa materia non sono molto ferrato....
Allora per fare in modo che la retta sia parallela al piano deve valere la condizione $<(l,m,n),(1,1,2)> =0$ ma per la condizione che sia incidente con l'asse $z$ non ho ancora capito come devo muovermi.....
Allora per fare in modo che la retta sia parallela al piano deve valere la condizione $<(l,m,n),(1,1,2)> =0$ ma per la condizione che sia incidente con l'asse $z$ non ho ancora capito come devo muovermi.....
Il fascio proprio di rette che passano per $P$ e sono incidenti all'asse $z$ giace interamente in un piano: riesci a "vedere" quale piano è?
No scusa dammi qualche indizio....Devo considerare come centro del fascio di rette proprio il punto $P$ ?
Allora: il tuo vettore $\vec{u}(x,y,z)$ ha tre incognite, cioè le componenti. Se rimangono tutte e tre variabili [cioè, se hai tre gradi di libertà], descrivi tutte le rette dello spazio che passano per $P$, ok?
Allora cominci a imporre una prima condizione, e cioè che tale vettore sia parallelo al piano dato, così passi a descrivere non più le rette dello spazio, ma quelle di un piano [imponendo una limitazione, diminuisci i gradi di libertà].
Come seconda cosa cerchi tra tutte le rette quella che incrocia l'asse $z$. Per fare questo, devi richiedere che la direzione della retta "punti" verso l'asse $z$ in modo da incrociarlo. È più chiaro?
Allora cominci a imporre una prima condizione, e cioè che tale vettore sia parallelo al piano dato, così passi a descrivere non più le rette dello spazio, ma quelle di un piano [imponendo una limitazione, diminuisci i gradi di libertà].
Come seconda cosa cerchi tra tutte le rette quella che incrocia l'asse $z$. Per fare questo, devi richiedere che la direzione della retta "punti" verso l'asse $z$ in modo da incrociarlo. È più chiaro?
Allora forse ho trovato poi vedi se è giusto 
allora:
la retta r è contenuta nel piano parallelo al piano dato passante per $P$. I piano paralleli al piano dato si ottengono dall'equazione $x+y+2z-1=k$ dove $k$ è una costante arbitraria. Imponendo il passaggio per $P$ otteniamo $x+y+2z=3$. Se $Q$ è l'intersezione del piano trovato con l'asse $y$ precisamente $(0,0,3/2)$ allora $r:X=P+t(Q-P)=(1,1,1)+t(-1,-1,1/2)
Spero sia giusto....grazie ancora per la tua disponibilità
allora:la retta r è contenuta nel piano parallelo al piano dato passante per $P$. I piano paralleli al piano dato si ottengono dall'equazione $x+y+2z-1=k$ dove $k$ è una costante arbitraria. Imponendo il passaggio per $P$ otteniamo $x+y+2z=3$. Se $Q$ è l'intersezione del piano trovato con l'asse $y$ precisamente $(0,0,3/2)$ allora $r:X=P+t(Q-P)=(1,1,1)+t(-1,-1,1/2)
Spero sia giusto....grazie ancora per la tua disponibilità
Il procedimento mi sembra che ci sia, non ho controllato i conti!
Ok grazie ancora per l'aiuto
"DeltaCobra":
Allora forse ho trovato poi vedi se è giusto
la retta r è contenuta nel piano parallelo al piano dato passante per $P$. I piano paralleli al piano dato si ottengono dall'equazione $x+y+2z-1=k$ dove $k$ è una costante arbitraria. Imponendo il passaggio per $P$ otteniamo $x+y+2z=3$. Se $Q$ è l'intersezione del piano trovato con l'asse $y$ precisamente $(0,0,3/2)$ allora $r:X=P+t(Q-P)=(1,1,1)+t(-1,-1,1/2)
Spero sia giusto....grazie ancora per la tua disponibilità
io di solito per trovarmi la retta parallela faccio:
$x + y + 2z - 1 +k = 0$
passaggio per $P$ e mi trovo: $k = - 3$
da cui la retta $ x + y +2z -4 =0$
ora se dici che deve essere incidente all'asse $z$ ......
l'equazione dell'asse $z$ è così: $x=0 ; y=0$
ora se ponessi questa cosa nell'eq trovata prima avrei:
$ 0 + 0 + 2z - 4 =0$
da cui $z=2$
dunque il punto in cui si 'interseca' sull'asse z è $(0,0,2)$
ora non so se va bene come ragionamento.....cosa ne pensi raptorista?
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