Definizione di Determinante
Ciao ragazzi, ho una domanda da porvi riguardo la definizione di determinante. Vi spiego come ce l'ha spiegato il professore in classe.
Dimostreremo che esiste una (e un' unica) funzione (dallo spazio delle matrici di ordine $n$ ad $RR$)con queste proprietà:
i- $det_n(I)=1$;
ii- $det_n$ è lineare sulle righe di $A\inM(nxn)$;
iii- scambiando due righe il determinante cambia segno.
Dopodichè abbiamo dedotto alcune conseguenze di queste proprietà, ossia:
a)Se $A$ matrice di ordine $n$ ha due righe uguali allora il determinante è nullo;
b)$det_n((A_1),(.),(.),(.),(A_i),(.),(.),(.),(A_n)) = det_n((A_1 +\lambdaA_i),(.),(.),(.),(A_i),(.),(.),(.),(A_n))$
Infine abbiamo osservato che: partendo da una matrice $A$, tramite operazioni elementari di questo tipo:
- scambiare due righr
- aggiungere multiplo di riga i-esima a riga k-esima
fino a raggiungere una matrice a scala, il determinante non cambia in valore assoluto, e il segno dipende dal numero di scambi di riga (positivo se numero di passi pari, negativo altrimenti). Dunque abbiamo proseguito diagonalizzando la matrice (facendo vedere che non cambia il determinante), e poi, applicando la proprietà (i), abbiamo visto che il determinante equivale al prodotto degli elementi della diagonale.
Quest'ultimo passo dimostra che il determinante (supposto che esista) è unico, in quanto univocamente determinato dal prodotto degli elementi della diagonale che è indipendente dal percorso intrapreso per diagonalizzare $A$.
Ora mi chiedo: perchè non definire semplicemente il determinante in questo modo??
Dimostreremo che esiste una (e un' unica) funzione (dallo spazio delle matrici di ordine $n$ ad $RR$)con queste proprietà:
i- $det_n(I)=1$;
ii- $det_n$ è lineare sulle righe di $A\inM(nxn)$;
iii- scambiando due righe il determinante cambia segno.
Dopodichè abbiamo dedotto alcune conseguenze di queste proprietà, ossia:
a)Se $A$ matrice di ordine $n$ ha due righe uguali allora il determinante è nullo;
b)$det_n((A_1),(.),(.),(.),(A_i),(.),(.),(.),(A_n)) = det_n((A_1 +\lambdaA_i),(.),(.),(.),(A_i),(.),(.),(.),(A_n))$
Infine abbiamo osservato che: partendo da una matrice $A$, tramite operazioni elementari di questo tipo:
- scambiare due righr
- aggiungere multiplo di riga i-esima a riga k-esima
fino a raggiungere una matrice a scala, il determinante non cambia in valore assoluto, e il segno dipende dal numero di scambi di riga (positivo se numero di passi pari, negativo altrimenti). Dunque abbiamo proseguito diagonalizzando la matrice (facendo vedere che non cambia il determinante), e poi, applicando la proprietà (i), abbiamo visto che il determinante equivale al prodotto degli elementi della diagonale.
Quest'ultimo passo dimostra che il determinante (supposto che esista) è unico, in quanto univocamente determinato dal prodotto degli elementi della diagonale che è indipendente dal percorso intrapreso per diagonalizzare $A$.
Ora mi chiedo: perchè non definire semplicemente il determinante in questo modo??
Risposte
Non so se ho capito bene la domanda ma la risposta è: Perché non tutte le metrici sono diagonali 
Cioè lui ha dimostrato che se definisci una funzione determinante in quel modo, per qualsiasi matrice il determinante è univocamente determinato, il che non è ovvio data una matrice quadrata qualsiasi
Cioè lui ha dimostrato che se definisci una funzione determinante in quel modo, per qualsiasi matrice il determinante è univocamente determinato, il che non è ovvio data una matrice quadrata qualsiasi
"_Matteo_C":
Quest'ultimo passo dimostra che il determinante (supposto che esista) è unico
Il determinante di una matrice quadrata esiste sempre
"Matteo_C":
in quanto univocamente determinato dal prodotto degli elementi della diagonale che è indipendente dal percorso intrapreso per diagonalizzare $A$.
Il fatto che sia indipendente dal percorso intrapreso per la diagonalizzazione non è banale, va dimostrato.
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