Dimostrazione f(A) è unitaria

[raff5184]

ciao secondo voi va bene la mia dimostrazione?
Data una matrice A hermitiana dimostrare che $exp(iA)$ è unitaria

DIM:
siccome non è detto se A è diagonale possiamo trovare una trasformazione unitaria U t.c. $U^+AU$ è diagonale e quindi ho $exp(iA) = UEU^+$, dove E è la matrice diagonale e il generico elemento sulla diagonale è $exp(ia_k)$ e con $E^x $ invece indico la stessa matrice ma con elementi $exp(-ia_k)$

Allora devo provare che $f(A)^(Tx)*f(A)=I$ ($^x$ sta per coniugata e $^T$ trasposta)
$(UEU^+)^(Tx)*UEU^+=$ #coniugo
$[(U^+E^x)U^T]^T*UEU^+=$ #traspongo
$(U^T)^T*(U^xE^x)^T*UEU^+=$
$UE^xU^(Tx)*UEU^+=$
$UE^xU^+*UEU^+=I$ cvd

[dissonance]

Raff, l'idea di ricondursi a matrici diagonali è buona ma ti dico la verità, faccio fatica a seguire i tuoi passaggi, anche grazie alle notazioni non proprio chiarissime. Io direi, molto più sbrigativamente: siccome ogni matrice Hermitiana è unitariamente equivalente ad una matrice diagonale a entrate reali (questo è molto importante), e siccome la funzione esponenziale conserva l'equivalenza unitaria, possiamo limitarci a dimostrare il teorema nel caso in cui $A$ sia diagonale reale. E questo caso è immediato perché

$e^{iA}=[[e^{ia_1}, ,], [, \ddots, ], [,,e^{i a_n}]]$;

matrice unitaria perché

$e^{iA}([e^{iA}]^**)^T=[[e^{ia_1}e^{-i a_1}, ,], [, \ddots, ], [,,e^{i a_n}e^{-i a_n}]]=[[1, ,], [, \ddots, ], [,,1]].$

Fine.

P.S.: Ehi raff, sono anni che volevo chiedertelo... Ma che cos'è questo teorema del sistema che si scassa???

[raff5184]

ciao dissonance... il tipo di dimostrazione che mi hai proposto è praticamente lo stesso.. solo che l'ho fatto nel caso più generale in cui la matrice non è diagnonale...
Grazie della conferma

ahahah quello è un teorema che ci enunciò un prof, così barbaramente come lo leggi, ma proprio per questo molto efficace. E diciamo che racchiude in sé l'idea della complessità dei sistemi igegneristici

[dissonance]

"raff5184":ciao dissonance... il tipo di dimostrazione che mi hai proposto è praticamente lo stesso.. solo che l'ho fatto nel caso più generale in cui la matrice non è diagnonale...

Sisi, certo, è esattamente lo stesso. Ho voluto però evidenziare un fatto importante: la matrice diagonale ha le entrate reali. Senza questo il teorema è falso: prendi ad esempio $A=[[-i/2, 0], [0, -i/2]]$ (che difatti non è Hermitiana), risulta che $e^{iA}=[[e^{1/2}, 0], [0, e^{1/2}]]$ e non è unitaria perché ha determinante uguale ad $e!=1$.

ahahah quello è un teorema che ci enunciò un prof, così barbaramente come lo leggi, ma proprio per questo molto efficace. E diciamo che racchiude in sé l'idea della complessità dei sistemi igegneristici

:-)