Esempio di funzione aperta

[streghettaalice]

Durante la lezione il professore ha considerato la topologia naturale di $RR$ e $S1$ cerchio unitario con topologia indotta dalla topologia naturale di $RR^2$ e una funzione del tipo:
$f: RR -> S1 , t -> ( cost,sint)$
Devo dimostrare che la funzione $f$ è aperta.
Ora consideriamo, per defizione di aperta, un aperto della topologia naturale di $RR$ quindi un intorno del tipo $(a,b)$ ( estremi esclusi).
Devo dimostrare che $f(a,b)$ è aperta di $S1$.
Ora il mio problema sorge nel momento in cui il professore divide in due casi la questione: caso in cui $b-a <= 2pi$ e caso in cui $b-a > 2pi$, mi sorge strano perchè secondo me il valore $b-a$ dovrebbe essere $<= 2$ e nel caso fosse $2$ allora l'immagine coniciderebbe con il cerchio $S1$ unitario( aperto banalmente di $S1$) mentre nel caso fosse minore sarebbe un arco di $S1$ quindi aperto di $S1$.Sicuramente a sbagliare sarò io ma vorrei capire dove..

[j18eos]

Basta ricordarti la lunghezza della circonferenza unitaria!

[streghettaalice]

bè se con lunghezza intendi il perimetro è $2pi$ , ma i punti delle ascisse vanno da $[-1,1]$ e quindi secondo il mio ragionamento l'intervallo aperto che considero (essendo aperto di $RR$) dovrebbe essere incluso in $[-1,1]..

[dissonance]

@alice: Perché $[-1, 1]$...? Semmai $[-pi, pi]$, no? Per descrivere tutta la circonferenza, il parametro deve viaggiare su un segmento di lunghezza $2pi$, non $2$. Fatti un disegnino:

[asvg]xmin=-1; ymin=-1; xmax=1; ymax=1; axes();
arc([1, 0], [Math.SQRT2/2, Math.SQRT2/2], 1); line([0, 0], [1, 0]); line([0,0], [Math.SQRT2/2, Math.SQRT2/2]);
arc([1/6, 0], [Math.SQRT2/12, Math.SQRT2/12], 1/6); text([1/6, 0], "theta", aboveright);[/asvg]

è questa la curva descritta dalla parametrizzazione $(cos theta, sin theta)$.

[streghettaalice]

allora credo di non aver capito bene la definzione di aperto di $RR$ visto che secondo il mio ragionamento questo aperto sarebbe proprio l'intervallo compreso nel segmento di estremi i punti (-1,0),(1,0)..

[dissonance]

E si, non ti stai visualizzando correttamente la questione. Immagina un cursore $theta$ viaggiante sulla retta reale. Quando lo fai scorrere, una matita contemporaneamente disegna una circonferenza su un foglio a parte: il meccanismo è tarato in modo che a distanza unitaria percorsa dal cursore sulla retta corrisponda una distanza angolare pari ad 1 radiante sulla circonferenza.

Questa è la tua applicazione $f$.

Se ti è chiaro questo, sarà chiaro anche che per disegnare una circonferenza intera devi scorrere il cursore di almeno $2pi$ unità verso destra (o verso sinistra). Se invece non sono stato sufficientemente chiaro io, il che è probabile, fai un fischio e vedo di spiegarmi meglio.

[streghettaalice]

credo di aver capito la applicazione di $f$ però la retta in questione non è l'asse delle ascisse? ( sto cercando di capire dove è sbagliato il mio ragionamento..)

[dissonance]

No. L'asse delle ascisse dello spazio in cui vive la circonferenza non c'entra nulla con il dominio della parametrizzazione. Immagina questi due spazi completamente scorrelati, come in effetti sono in realtà: spesso, nelle applicazioni, il dominio della parametrizzazione di una curva è il tempo (da cui l'uso della lettera $t$ da parte del tuo professore).

[streghettaalice]

Credo di aver capito quindi da dove partiva il mio errore..