[Topologia] Insieme di aperti data una base

[mistake89]

Volevo chiedere conferma circa questo insieme di aperti.
Data la base [tex]$\mathcal{B}=\{[a,b]:a,b \in \mathbb{R},a0\}[/tex] di una topologia su $RR$ come posso caratterizzare questi aperti?

Saranno forse nella forma [tex]$\mathcal{A}=\{A \subset \mathbb{R}| A= \bigcup_{a Se così fosse allora potrei scegliere anche [tex]B=\emptyset[/tex], giusto?

Perchè il mio dubbio riguarda la scrittura di [tex]\mathcal{B}[/tex]. Non capisco banalmente se un aperto deve essere necessariamente unione dei due insieme oppure basta che sia un intervallo chiuso con estremi negativi. Io propenderei per quest'ultima ipotesi ma vorrei avere conferma.

Grazie mille a tutti

[Paolo902]

Ciao mistake!

Guarda secondo me tutto sta nella definizione della base, che è data mediante un'unione.
Che vuol dire $x in A uu B$? Che $x$ sta in $A$ o sta in $B$ (senza escludere che stia in entrambi)

Quindi, secondo me un aperto della topologia può tranquillamente essere un intervallo chiuso con estremi negativi (perchè sta in una delle due famiglia da cui è composta la base).

Che ne dici? Ti torna?

[dissonance]

Attenzione mistake che la tua famiglia degli aperti [tex]\mathcal{A}[/tex] è sbagliata. Ti stai perdendo un sacco di aperti, precisamente tutti quelli ottenuti prendendo unioni di elementi di [tex]\{[a,b]:a,b \in \mathbb{R},a0\}[/tex]. A parole, ogni intervallo con estremi negativi e ogni singoletto positivo sono elementi di [tex]\mathcal{B}[/tex] e quindi devono essere aperti.

[mistake89]

Mmm sì Paolo direi che torna tutto

Certo Dissonance, non capisco perchè però nella descrizione li perdo.
Nel senso che prendendo [tex]$B=\emptyset[/tex] ho gli aperti che sono intervalli. Per i singleton invece mi sa che li perdo.

[dissonance]

Effettivamente è una questione sottile. Il problema è questa scrittura, un po' ambigua:

[tex]$ A= \bigcup_{a
Tu dici: prendendo [tex]B=\varnothing[/tex] ottengo un [tex]A[/tex] di tipo "unione di intervalli negativi". Ok. Ma allora perché non dovrebbe essere possibile "svuotare" anche l'intervallo [tex][a, b][/tex]? Per esempio, per [tex]a=0, b=-1[/tex] si potrebbe intendere che [tex][a, b]=\varnothing[/tex] e allora si possono ottenere anche [tex]A[/tex] di tipo "sottoinsieme di [tex]\mathbb{R}^+[/tex]".

Meglio evitarla, questa scrittura. In fondo conosci esplicitamente una base, questo è sufficiente a gestire tutto ciò che ti serve della tua topologia senza esplicitare la famiglia degli aperti: del resto, anche nel più familiare degli spazi topologici ([tex]\mathbb{R}[/tex]) accade esattamente questo - gli aperti sono noti attraverso una base, non direttamente. E in fondo, è proprio qui l'utilità di questa nozione.

[mistake89]

"dissonance":Effettivamente è una questione sottile. Il problema è questa scrittura, un po' ambigua:

[tex]$ A= \bigcup_{a
Tu dici: prendendo [tex]B=\varnothing[/tex] ottengo un [tex]A[/tex] di tipo "unione di intervalli negativi". Ok. Ma allora perché non dovrebbe essere possibile "svuotare" anche l'intervallo [tex][a, b][/tex]? Per esempio, per [tex]a=0, b=-1[/tex] si potrebbe intendere che [tex][a, b]=\varnothing[/tex] e allora si possono ottenere anche [tex]A[/tex] di tipo "sottoinsieme di [tex]\mathbb{R}^+[/tex]".

Qui non credo di aver inteso per bene la questione, me ne scuso. Mi stai dicendo che anche $B \sub RR^+$ è un aperto per questa topologia?
$a=0,b=-1$ io non potrei prenderli proprio per definizione di intervallo dato nella base. Quindi come posso svuotare l'intervallo?

Meglio evitarla, questa scrittura. In fondo conosci esplicitamente una base, questo è sufficiente a gestire tutto ciò che ti serve della tua topologia senza esplicitare la famiglia degli aperti: del resto, anche nel più familiare degli spazi topologici ([tex]\mathbb{R}[/tex]) accade esattamente questo - gli aperti sono noti attraverso una base, non direttamente. E in fondo, è proprio qui l'utilità di questa nozione.

Sisi questo sicuramente, solo che alle volte mi serve per visualizzare meglio le cose. Ovviamente se $x>0$ allora l'aperto che lo conterrà sarà ${x}$ se $x<= 0$ sarà $[x-\epsilon, x+epsilon]$.

[dissonance]

"mistake89":Mi stai dicendo che anche $B \sub RR^+$ è un aperto per questa topologia?

Certamente. Infatti se [tex]B\subset \mathbb{R}^+[/tex] allora

[tex]$B=\bigcup_{x \in B}\{x\}[/tex]

e ogni [tex]\{x\},\ x \in B[/tex] è un aperto perché contenuto in [tex]\mathcal{B}[/tex].

$a=0,b=-1$ io non potrei prenderli proprio per definizione di intervallo dato nella base. Quindi come posso svuotare l'intervallo?

Ma infatti era una provocazione. Volevo sottolineare come alle volte le notazioni sono ambigue, è nella natura delle cose che sia così.

[mistake89]

Perfetto ho capito ora! Almeno fino al prossimo dubbio

Grazie mille dissonance. E grazie anche a Paolo

[dissonance]

Anzi adesso che ci penso meglio, mistake, mi sa che stiamo clamorosamente toppando entrambi.
Sia questa scrittura:

[tex]$ \bigcup_{a
sia questa

[tex]$A= \bigcup_{a
significano cose diverse da quelle che stiamo intendendo noi. Prendiamo la prima che è più facile. Quando uno dice "unione su un insieme di indici", intende l'unione su tutti quegli indici. Quindi in particolare

[tex]$\bigcup_{a < b \le 0}[a, b]=(-\infty, 0][/tex],

chiaro, no? Ogni numero reale negativo appartiene ad un intervallo di tipo [tex][a, b], a
[tex]$\bigcup_{a < b \le 0}[a, b]\supset (-\infty, 0][/tex];

l'altra inclusione è ovvia. Perciò la scrittura in esame non è solo ambigua: è proprio sbagliata.

[mistake89]

Mmm sì in effetti sì, ho capito la faccenda. Ovviamente è una trasposizione sbagliata di ciò che dicevo sopra.
Mentre sommando anche su $B$ si ottiene $RR$, no?

Prometto: Non passerò mai più delle basi agli aperti

[dissonance]

"mistake89":Mentre sommando anche su $B$ si ottiene $RR$, no?

Esatto.

Prometto: Non passerò mai più delle basi agli aperti

Bravo. Le basi sono state inventate proprio per evitare questi garbugli, direi.

[ViciousGoblin]

Scusate se mi intrometto, ma non ho capito se alla domanda iniziale è stata data risposta.
A me pare che la $\mathcal{B}$, così come è stata scritta non sia una base per una topologia, dato che non contiene $\emptyset$ e neanche oggetti del tipo $[a,b]$, con
$a0$ (che viceversa dovrebbero esserci o essere ottenibili come unione di elementi di $\mathcal{B}$ - dato sono intersezioni di elementi di $\mathcal{B}$). Ma forse voi state implicitamente "riempiendo" la definizione di $\mathcal{B}$ in modo da includere tali insiemi ?
Se è così io direi che un aperto nella topologia generata da $\mathcal{B}$ è un qualunque insieme $A$ tale che $A\cap]-\infty,0]$ è aperto rispetto alla topologia usuale di $]-\infty,0]$, cioè esiste $A_1$ aperto in senso usuale in $RR$ per cui $A\cap]-\infty,0]=A_1cap]-\infty,0]$; in altri termini $A$ dovrebbe essere unione di un aperto in $]-\infty,0]$ e di un qualunque sottoinsieme di $]0,+\infty[$ (lo dico un po' a intuito, ma credo non sia difficile provarlo).

[mistake89]

"ViciousGoblin":Scusate se mi intrometto, ma non ho capito se alla domanda iniziale è stata data risposta.
A me pare che la $\mathcal{B}$, così come è stata scritta non sia una base per una topologia, dato che non contiene $\emptyset$ e neanche oggetti del tipo $[a,b]$, con
$a0$ (che viceversa dovrebbero esserci o essere ottenibili come unione di elementi di $\mathcal{B}$ - dato sono intersezioni di elementi di $\mathcal{B}$).

Non ho ben capito questo passaggio. L'insieme vuoto non dovrebbe essere contenuto in ciascun insieme?
E ancora perchè non dovrei poter ottenere singoletti data quella definizione? O intervalli del tipo $[a,b]$?

Grazie mille

[ViciousGoblin]

Ho preso (più di ) un abbaglio . .. non devo più scrivere a ora tarda di argomenti sui quali non ho più pratica.

In effetti avendo letto male la definizione di $\mathcal{B}$ non l'avevo interpretata correttamente. Mistake89 ha ragione: I singoletti e gli intervalli sono in $\mathcal{B}$ (anzi ci sono solo loro ...).
Non mi pare invece che $\emptyset\in\mathcal{B}$ ma probabilmente si sottindende che va aggiunto.

Comunque è sbagliata la caratterizzazione degli aperti che ho scritto nel messaggio precedente.E' corretto che un qualunque sottoinsieme di $]0,+\infty[$
è aperto nella topologia indotta da $\mathcal{B}$. E' invece chiaramente falso che $\mathcal{B}$ induce la topologia usuale su $]-\infty,0]$: se è vero che un aperto
standard è contenuto nella $\mathcal{B}$ topologia (perché gli intervalli aperti si ottengono come unione di intervalli chiusi) ma il viceversa è falso ($[a,b]$ è aperto rispetto
a $\mathcal{B}$ mentre non lo è nella topologia usuale).

Chiedo scusa a mistake89 se gli ho confuso le idee.

[mistake89]

Nessuna scusa, almeno inizio a capirci qualcosa.

Anzi, visto che mi ha creato dei problemi, riporto qualche punto per una controllatina!
Mi chiede di determinare l'interno di $[0,1]$ che è $]0,1]$, $\Int (-infty,0]=(-infty,0])$ e $\Int(-infty,1]=(-infty,1]$

Dimostrare che $[a,b]$ è chiuso se $a Cioè [tex]$]-\infty,a[ \cup ]b,+\infty[[/tex] è aperto, che possiamo scrivere come [tex]$(-\infty,a[ \cup ]b,0] \cup ]0,+\infty[=\bigcup_{e0} \{x\}[/tex] che sono tutti elementi di $B$.

Inoltre se $a<0 \leq b$ risulta $[a,b]$ un aperto della topologia.
Infatti escludendo il caso banale $b=0$, ci ha [tex]$[a,b]=[a,0] \cup ]0,b][/tex] dove [tex]$]0,b]=\bigcup_{x Ovviamente risulta connesso perchè $tau$ è meno fine della topologia euclidea.

Che dite è giusto?

Dovrei provare la compattezza, ma ci sto ancora pensando.

[dissonance]

Secondo me finora è giusto. Riguardo la compattezza

direi che puoi fare di nuovo un certo ragionamento che abbiamo già visto proprio di recente con ViciousGoblin.

EDIT: No, no, no momento!!! Mi era sfuggito questo:

Ovviamente risulta connesso perchè τ è meno fine della topologia euclidea.

Falso. ${1}$ ti sembra aperto nella topologia euclidea? E $[-2, -1]$?

[dissonance]

Spero di non averti confuso le idee, mistake! Considera di nuovo la connessione dello spazio. A me connesso non pare proprio. Anzi direi che a contare le componenti connesse c'è da farsi girare la testa (hint! ).

[dissonance]

Comunque sia io vorrei riprendere una osservazione di VG:

A me pare che la $\mathcal{B}$, così come è stata scritta non sia una base per una topologia

Sono d'accordo. Per essere una base una famiglia [tex]\mathcal{B}[/tex] deve verificare due proprietà:

[*:18o2juoc]Deve formare un ricoprimento dello spazio totale;[/*:m:18o2juoc]
[*:18o2juoc]Per ogni [tex]B_1, B_2 \in \mathcal{B}[/tex] deve esistere una famiglia [tex]\{B_j\}_{j \in J} \subset \mathcal{B}[/tex] tale che [tex]B_1 \cap B_2 = \bigcup_j B_j[/tex].[/*:m:18o2juoc][/list:u:18o2juoc]
Quest'ultima proprietà non è verificata dalla famiglia assegnata. Ad esempio, [tex][-3, -2]\cap [-2,-1]=\{-2\}[/tex] e non si può scrivere come unione di intervalli chiusi.

[mistake89]

"dissonance":
EDIT: No, no, no momento!!! Mi era sfuggito questo:

Ovviamente risulta connesso perchè τ è meno fine della topologia euclidea.

Falso. ${1}$ ti sembra aperto nella topologia euclidea? E $[-2, -1]$?

Dannata fretta. Ovviamente volevo dire che è più fine (ho sbagliato a copiare dal foglio dove avevo scritto!).
E risulta non connesso basta considerare gli aperti $]-infty,0],]0,+infty[$. Aperti disgiunti la cui unione ricopre $RR$.

Scusami, questa è stata una svista!

Mmm hai ragione. In effetti prendendolo da un vecchio appello non è che mi sono curato di verificare che effettivamente sia una base. Sarà stato un appello sfortunato

Grazie dissonance, mi state dispensando consigli preziosi

[ViciousGoblin]

Ringrazio dissonance per il credito che mi assegna, ma non lo merito ... anche se avevo sentito puzza di bruciato non i ero accorto di quello che ha trovato lui.
Come scritto prima mi ero accorto stamane che con questa base dovrebbero essere aperti tutti gli intervalli con estremi negativi, indipendentemente dal fatto che tali estremi siano o meno contenuti (e quindi lo spazio sarebbe totalmente sconnesso), ma niente di più.

Mi pare ora che con questa $\mathcal{B}$ si faccia nulla (se si aggiungono anche i singoletti negativi tanto vale prendere solo i singoletti - si arriva così alla topologia discreta su $RR$)
Sei sicuro che non fossero $]a,b]$ invece di $[a,b]$ ?

[mistake89]

"ViciousGoblin":
Sei sicuro che non fossero $]a,b]$ invece di $[a,b]$ ?

Sicurissimo ho appena controllato,anzi chiedo scusa per essermene reso conto da solo!