Esercizio applicazioni lineari e dimensioni
sai $Hom(V,W)$ l'iinsieme di tutte le applicazioni lineari che vanno da V a W e sia Q un sottoinsieme di Hom(V,W) formato dalle applicazioni lineari che assiociano a ogni vettore v di V un w appartente a W tale che le prime p componenti del vettore w siano nulle. dimostrare che Q è un sottospazio vettoriale e trovarne la dimensione.
come è che si potrebbe scrivere in matematichese questo insieme?
come è che si potrebbe scrivere in matematichese questo insieme?
Risposte
Parli di componenti di un vettore $w$ di $W$. Questo mi fa pensare che sia fissata una base in $W$. E' così?
si, esatto...
Sia $n=dim(V)$, $m=dim(W)$, $p<=m$.
$Q={f in Hom(V,W) $ tali che $f(v_1,v_2,...v_n)=(w_1,w_2,...w_m) $ e $w_1=w_2=...=w_p=0}$
$Q={f in Hom(V,W) $ tali che $f(v_1,v_2,...v_n)=(w_1,w_2,...w_m) $ e $w_1=w_2=...=w_p=0}$
Aspetta aspetta Gi8 
Tu scrivi "$f(v_1,v_2,...v_n)=(w_1,w_2,...w_m) $ e $w_1=w_2=...=w_p=0}$".
Cosa intendi con questa scrittura? Se scrivi $f(v_1,...,v_n)$ indichi che $f$ è definita su $n$-uple $(v_1,...,v_n)$. Ma $f$ è definita su vettori di $V$!
E $v_1,...,v_n$ chi sono?
Io scriverei così:
sia $(w_1,...,w_m)$ la base di $W$ fissata, con $p<=m$.
Posto $W'=span{w_{p+1},...,w_m}$, possiamo definire $Q$ come
$Q={f\in Hom(V,W) " tali che " f(V)\subseteq W'}$.
Tu scrivi "$f(v_1,v_2,...v_n)=(w_1,w_2,...w_m) $ e $w_1=w_2=...=w_p=0}$".
Cosa intendi con questa scrittura? Se scrivi $f(v_1,...,v_n)$ indichi che $f$ è definita su $n$-uple $(v_1,...,v_n)$. Ma $f$ è definita su vettori di $V$!
E $v_1,...,v_n$ chi sono?
Io scriverei così:
sia $(w_1,...,w_m)$ la base di $W$ fissata, con $p<=m$.
Posto $W'=span{w_{p+1},...,w_m}$, possiamo definire $Q$ come
$Q={f\in Hom(V,W) " tali che " f(V)\subseteq W'}$.
"cirasa":
Se scrivi $f(v_1,...,v_n)$ indichi che $f$ è definita su $n$-uple $(v_1,...,v_n)$. Ma $f$ è definita su vettori di $V$!
E $v_1,...,v_n$ chi sono?
Scusa se mi "impunto", ma non credo di avere scritto cose errate.
Prima ho scritto che $f in Hom(V,W)$, dunque per forza $f$ è definita su vettori di $V$. Siccome $n=dim(V)$, un generico vettore $v in V$ sarà della forma $(v_1,v_2,....,v_n)$.
"Gi8":
Siccome $n=dim(V)$, un generico vettore $v in V$ sarà della forma $(v_1,v_2,....,v_n)$.
Credo che stai confondendo un vettore con la $n$-upla delle sue componenti
Sono costretto ad andare un po' OT per parlare di questa questione. Vediamo, se la discussione non si prolunga troppo, altrimenti apriamo un nuovo thread.
Un vettore $v\in V$ si può scrivere come combinazione lineare dei vettori di una base.
Per esempio, se una base è $(e_1,...,e_n)$, $v$ si scrive come $v=\sum_{i=1}^nv_ie_i$.
Ma $(v_1,...v_n)$ è la $n$-upla delle componenti di $v$, non il vettore stesso
Giusto per fare un esempio. Supponiamo per esempio che $V$ sia lo spazio dei polinomi di grado $<=2$.
E allora gli elementi di $V$ non sono mica nella forma $(a,b,c)$
Piuttosto sono nella forma $a cdot 1+ b cdot x+ c cdot x^2$, avendo fissato la base $(1,x,x^2)$ di $V$.
Non so se è chiaro...attenzione a non fare confusione fra vettore $v$ e $n$-upla delle componenti di $v$ rispetto ad una base fissata.
Spero di non averti confuso le idee. Se hai qualche dubbio chiedi pure
Però sarai d'accordo con me che, una volta fissata una base, ad ogni $n$-upla corrisponde uno e un solo vettore e viceversa.
Quindi è possibile scrivere $(v_1,v_2,...,v_n)$ al posto di $v$.
Ecco, forse prima ho dimenticato di scrivere (ma perchè lo davo per scontato) che sia in $V$ sia in $W$ erano fissate le basi.
Quindi è possibile scrivere $(v_1,v_2,...,v_n)$ al posto di $v$.
Ecco, forse prima ho dimenticato di scrivere (ma perchè lo davo per scontato) che sia in $V$ sia in $W$ erano fissate le basi.
"Gi8":
Però sarai d'accordo con me che, una volta fissata una base, ad ogni $n$-upla corrisponde uno e un solo vettore e viceversa.
Quindi è possibile scrivere $(v_1,v_2,...,v_n)$ al posto di $v$.
Ok, siamo d'accordo
Forse è meglio averlo specificato. Non sia mai che qualcuno si confondesse.
Bene, ora resta da verificare che questo insieme $Q$ è un sottospazio di $Hom(V,W)$ e stabilirne la dimensione.
si ma prima non ho capito alla fine quale è l'insieme $Q$ ufficiale che devo prendere in considerazione... 
Se è chiara la notazione che ha usato Gi8, facendo attenzione all'identificazione (una volta fissata la base)
vettore <--> $n$-upla delle componenti
puoi usare la sua espressione dell'insieme $Q$ (forse è più comoda quando vorrai calcolare la dimensione di $Q$).
Altrimenti se ti è chiara la mia espressione di $Q$, puoi usare quest'ultima (e, secondo me, è più comoda per mostrare che $Q$ è un sottospazio di $Hom(V,W)$).
vettore <--> $n$-upla delle componenti
puoi usare la sua espressione dell'insieme $Q$ (forse è più comoda quando vorrai calcolare la dimensione di $Q$).
Altrimenti se ti è chiara la mia espressione di $Q$, puoi usare quest'ultima (e, secondo me, è più comoda per mostrare che $Q$ è un sottospazio di $Hom(V,W)$).
per la dimensione, io ragionerei cosi: sia dimV=n, dimW=m se prendiamo una base B di V e una base C di W, la matrice di Q che va da V a W è una matrice mxn con le prime p colonne nulle e le altre dove può succedere quello che vuole. quindi $dimQ=mx(n-p)$. questo perchè un' applicazione lineare è completamente determinata da una sua matrice rispetto a due basi. può andare?
L'idea è giusta, i conti sbagliati.
L'idea è quella di stabilire come può essere fatta la matrice associata ad una generico elemento di $Q$ e stabilire quanti sono "gradi di libertà" della matrice.
Forse ti sei confuso. La matrice è in questa forma
[tex]\left(\begin{matrix}0&0&...&0\\0&0&...&0\\...&...& &...\\0&0&...&0\\ \star&\star&...&\star\\ ...&...& &...\\ \star&\star&...&\star\end{matrix}\right)[/tex]
Le [tex]\star[/tex] indica che si tratta di parametri arbitrari.
La matrice è $m\times n$ (perchè la generica applicazione va da $V$ in $W$). Le prime $p$ righe sono nulle (fissata una colonna, i primi $p$ elementi sono le prime $p$ componenti dell'immagine del corrispondente vettore della base nello spazio di partenza).
La dimensione è ...
L'idea è quella di stabilire come può essere fatta la matrice associata ad una generico elemento di $Q$ e stabilire quanti sono "gradi di libertà" della matrice.
Forse ti sei confuso. La matrice è in questa forma
[tex]\left(\begin{matrix}0&0&...&0\\0&0&...&0\\...&...& &...\\0&0&...&0\\ \star&\star&...&\star\\ ...&...& &...\\ \star&\star&...&\star\end{matrix}\right)[/tex]
Le [tex]\star[/tex] indica che si tratta di parametri arbitrari.
La matrice è $m\times n$ (perchè la generica applicazione va da $V$ in $W$). Le prime $p$ righe sono nulle (fissata una colonna, i primi $p$ elementi sono le prime $p$ componenti dell'immagine del corrispondente vettore della base nello spazio di partenza).
La dimensione è ...
$(m-p)xn$ok?
Sì, quella è la dimensione di $Q$.
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