Ricerca applicazione lineare

[Zerogwalur]

Per esercizio dovrei trovare l'applicazione lineare f per cui:

- $((1), (-1), (2)) in$ Ker(f), quindi $f((1), (-1), (2)) = ((0), (0), (0))$
- $((1), (1), (1))$ è autovettore con autovalore $-3$, quindi $f((1), (1), (1)) = ((-3), (-3), (-3))$
- $f((-1), (1), (0)) = ((-3), (-2), (-6))$

e trovare l'immagine del vettore $((-3), (-3), (1))$

Tempo fa mi era stato proposto un metodo per il quale avrei dovuto trovare la matrice
$((a,b,c), (d,e,f), (g, h, i))$ e poi moltiplicarla per il vettore di cui volevo trovare l'immagine.

L'unico problema è che non ricordo come trovare tale matrice, qualcuno di voi può gentilmente spiegarmelo? Altrimenti un qualunque altro metodo di risoluzione mi va benissimo, l'importante è trovare l'immagine del vettore in questione.

Grazie a tutti!

[vittorino70]

La ricerca della matrice richiede che si conoscano le immagini dei vettori della base canonica e risulta un po' lunga .Puoi invece approfittare del fatto che i 3 vettori di cui sono date le immagini sono indipendenti e possono quindi fungere da base.Cerchiamo allora una combinazione lineare di essi che ci dia il vettore \(\displaystyle \displaystyle {{{\left(\matrix{{-3}\\{-3}\\{1}}\right)}}} \) . Facendo tutti i calcoli si trova che :
\(\displaystyle {{{\left(\matrix{{-3}\\{-3}\\{1}}\right)}}}= 2 {{{\left(\matrix{{1}\\{-1}\\{2}}\right)}}} -3{{{\left(\matrix{{1}\\{1}\\{1}}\right)}}}+2 {{{\left(\matrix{{-1}\\{1}\\{0}}\right)}}} \)
Passando alle immagini hai:
\(\displaystyle {{{f\left(\matrix{{-3}\\{-3}\\{1}}\right)}}}= 2 {{{f\left(\matrix{{1}\\{-1}\\{2}}\right)}}} -3f{{{\left(\matrix{{1}\\{1}\\{1}}\right)}}}+2 f{{{\left(\matrix{{-1}\\{1}\\{0}}\right)}}} \)
Ovvero:
\(\displaystyle {{{f\left(\matrix{{-3}\\{-3}\\{1}}\right)}}}=2{{{\left(\matrix{{0}\\{0}\\{0}}\right)}}}-3{{{\left(\matrix{{-3}\\{-3}\\{-3}}\right)}}}+2 {{{\left(\matrix{{-3}\\{-2}\\{-6}}\right)}}} \)
E in definitiva:
\(\displaystyle {{{f\left(\matrix{{-3}\\{-3}\\{1}}\right)}}}= {{{\left(\matrix{{3}\\{5}\\{-3}}\right)}}} \)
Per esercizio puoi trovare da solo l'applicazione lineare f applicando il medesimo metodo al vettore generico \(\displaystyle {{{\left(\matrix{{x}\\{y}\\{z}}\right)}}} \)

[Zerogwalur]

Grazie mille tutto chiaro!