Matrice associata
Salve a tutti! Con questo messaggio vi caricherò di lavoro perchè coinvolge ben due esercizi 
Il primo:
Sia $E:{A=( ( 1 , 1 ),( -1 , 0 ) ) $ $B=( ( 0 , 1 ),( 1 , 1 ) ) $ $ C=( ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) ) $ $D=( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) )}$ una base per $M(2x2)$
E $f:M(2x2)->P_2$ l'applicazione così definita $f(A)->1+x$, $f(B)->1+x-x^2$, $f(C)->2+2x$, $f(D)->x^2$
determinare la matrice associata a questa applicazione sia nella base canonica di $ M(2x2)$ e nella base canonica di $P^2$, sia nella base $E$ di $M(2x2)$ e nella base canonica di $P^2$
Normalmente sarei in grado di costruire matrici associate, calcolare basi e dmensioni di Nucleo e Immagine, ma nel caso di una funzione che porta matrici in polinomi non so proprio come muovermi!
Il secondo:
Sia $U$ un sottospazio di equazione cartesiana $x-y+z=0$. Calcolare la migliore approssimazione del vettore $v=( ( 1 ),( -1 ),( 3 ) )$ sul sottospazio $U$
In questo caso pensavo potesse esistere un modo di trovare una matrice associata al sottospazio e calcolare poi $Proj_U(v)$. Potrebbe essere ad esempio tale matrice $( ( 1 ),( -1 ), ( 1 ) )$?
Il primo:
Sia $E:{A=( ( 1 , 1 ),( -1 , 0 ) ) $ $B=( ( 0 , 1 ),( 1 , 1 ) ) $ $ C=( ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) ) $ $D=( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) )}$ una base per $M(2x2)$
E $f:M(2x2)->P_2$ l'applicazione così definita $f(A)->1+x$, $f(B)->1+x-x^2$, $f(C)->2+2x$, $f(D)->x^2$
determinare la matrice associata a questa applicazione sia nella base canonica di $ M(2x2)$ e nella base canonica di $P^2$, sia nella base $E$ di $M(2x2)$ e nella base canonica di $P^2$
Normalmente sarei in grado di costruire matrici associate, calcolare basi e dmensioni di Nucleo e Immagine, ma nel caso di una funzione che porta matrici in polinomi non so proprio come muovermi!
Il secondo:
Sia $U$ un sottospazio di equazione cartesiana $x-y+z=0$. Calcolare la migliore approssimazione del vettore $v=( ( 1 ),( -1 ),( 3 ) )$ sul sottospazio $U$
In questo caso pensavo potesse esistere un modo di trovare una matrice associata al sottospazio e calcolare poi $Proj_U(v)$. Potrebbe essere ad esempio tale matrice $( ( 1 ),( -1 ), ( 1 ) )$?
Risposte
Ragioniamo. Hai una appplicazione lineare $f:M(2 times 2,bbbR) to bbbR_2[x]$.
La base canonica di $M(2 times 2,bbbR)$ è
${((1,0),(0,0)),((0,1),(0,0)),((0,0),(1,0)),((0,0),(0,1))}$
e un'altra sua base è
$E={A=((1,1),(-1,0)),B=((0,1),(1,1)),C=((0,0),(1,0)),D=((0,0),(0,1))}$;
un generico polinomio di secondo grado a coefficienti reali è un'espressione del tipo $a+b x+c x^2$ con $a,b,c in bbbR$ per cui la base canonica di $bbbR_2[x]$ può essere scritta come ${1,x,x^2}$.
Per scrivere la matrice associata a $f$ rispetto alla basi canoniche di $M(2 times 2,bbbR)$ e di $bbbR_2[x]$ ti servono le immagini dei vettori della base canonica di $M(2 times 2,bbbR)$, quindi inizio calcolando le loro coordinate rispetto alla base $E$ impostando uguaglianze del tipo
$alpha A+beta B+gamma C+delta D=((alpha,alpha+beta),(-alpha+beta+gamma,beta+delta))=((1,0),(0,0))$
$rArr text(coord)_E(((1,0),(0,0)))=(1,-1,2,1)$
(analogamente per gli altri vettori della base)
e poi trovo le loro immagini sfruttando la linearità di $f$$M(2 times 2,bbbR)$
$f(((1,0),(0,0)))=f(A-B+2C+D)=f(A)-f(B)+2f(C)+f(D)=4+4x+2x^2$
(analogamente per gli altri vettori della base);
infine le coordinate di queste immagini trovate rispetto alla base canonica di $bbbR_2[x]$ sono le colonne della matrice cercata (ad esempio la prima colonna sarà data dalle coordinate di $4+4x+2x^2$ ovvero $(4,4,2)$).
Per trovare la matrice associata a $f$ rispetto alla base $E$ di $M(2 times 2,bbbR)$ e alla base canonica di $bbbR_2[x]$ hai meno lavoro da fare perchè già conosci le immagini dei vettori di $E$; dunque non ti resta che trovare le coordinate di queste rispetto alla base canonica dei polinomi e metterle in colonna per ottenere la matrice cercata.
Ad esempio, poichè $f(A)=1+x$, la prima colonna della matrice sarà data dalle sue coordinate rispetto alla base ovvero $(1,1,0)$.
La base canonica di $M(2 times 2,bbbR)$ è
${((1,0),(0,0)),((0,1),(0,0)),((0,0),(1,0)),((0,0),(0,1))}$
e un'altra sua base è
$E={A=((1,1),(-1,0)),B=((0,1),(1,1)),C=((0,0),(1,0)),D=((0,0),(0,1))}$;
un generico polinomio di secondo grado a coefficienti reali è un'espressione del tipo $a+b x+c x^2$ con $a,b,c in bbbR$ per cui la base canonica di $bbbR_2[x]$ può essere scritta come ${1,x,x^2}$.
Per scrivere la matrice associata a $f$ rispetto alla basi canoniche di $M(2 times 2,bbbR)$ e di $bbbR_2[x]$ ti servono le immagini dei vettori della base canonica di $M(2 times 2,bbbR)$, quindi inizio calcolando le loro coordinate rispetto alla base $E$ impostando uguaglianze del tipo
$alpha A+beta B+gamma C+delta D=((alpha,alpha+beta),(-alpha+beta+gamma,beta+delta))=((1,0),(0,0))$
$rArr text(coord)_E(((1,0),(0,0)))=(1,-1,2,1)$
(analogamente per gli altri vettori della base)
e poi trovo le loro immagini sfruttando la linearità di $f$$M(2 times 2,bbbR)$
$f(((1,0),(0,0)))=f(A-B+2C+D)=f(A)-f(B)+2f(C)+f(D)=4+4x+2x^2$
(analogamente per gli altri vettori della base);
infine le coordinate di queste immagini trovate rispetto alla base canonica di $bbbR_2[x]$ sono le colonne della matrice cercata (ad esempio la prima colonna sarà data dalle coordinate di $4+4x+2x^2$ ovvero $(4,4,2)$).
Per trovare la matrice associata a $f$ rispetto alla base $E$ di $M(2 times 2,bbbR)$ e alla base canonica di $bbbR_2[x]$ hai meno lavoro da fare perchè già conosci le immagini dei vettori di $E$; dunque non ti resta che trovare le coordinate di queste rispetto alla base canonica dei polinomi e metterle in colonna per ottenere la matrice cercata.
Ad esempio, poichè $f(A)=1+x$, la prima colonna della matrice sarà data dalle sue coordinate rispetto alla base ovvero $(1,1,0)$.
GRAZIE! Sei stato chiarissimo! Gli unici dubbi che mi rimangono sono legati per lo più alla mia ignoranza..
Costruire questa uguaglianza
$αA+βB+γC+δD=( ( α , α+β ),( -α+β+γ , β+δ ) ) $
serve a capire come ''agisce'' la funzione giusto?
Costruire questa uguaglianza
$αA+βB+γC+δD=( ( α , α+β ),( -α+β+γ , β+δ ) ) $
serve a capire come ''agisce'' la funzione giusto?
"SaucyDrew":
Costruire questa uguaglianza
$αA+βB+γC+δD=( ( α , α+β ),( -α+β+γ , β+δ ) ) $
serve a capire come ''agisce'' la funzione giusto?
Eh no, però queste cose ti conviene fartele chiare... se tu hai un vettore $x=(x_1,...,x_n)$ (questo è proprio il vettore nel senso, $(x_1,...,x_n)$ è la n-upla delle sue coordinate rispetto alla base canonica) un modo per trovare le sue coordinate rispetto ad una base $B=(b_1,...,b_n)$ dello spazio è il seguente: scrivi una generica combinazione lineare dei vettori di $B$ che è quindi data da $lambda_1 b_1+...+lambda_n b_n$ ove $lambda_1,...,lambda_n$ sono scalari è imponi l'uguaglianza con il vettore $x$, cioè
$lambda_1 b_1+...+lambda_n b_n=(x_1,...,x_n)$
da cui ricavi un sistema nelle incognite $lambda_1,...,lambda_n$ che nient'altro sono che le coordinate di $x$ rispetto alla base $B$ che cercavi.
Nello passaggio che hai citato ho fatto proprio questo: ho trovato una generica combinazione lineare dei vettori di $E$
$αA+βB+γC+δD=( ( α , α+β ),( -α+β+γ , β+δ ) ) $
è ho imposto l'uguaglianza con il primo vettore della base canonica dello spazio delle matrici
$( ( α , α+β ),( -α+β+γ , β+δ ) ) =((1,0),(0,0)) rArr {(alpha=1),(alpha+beta=0),(-alpha+beta+gamma=0),(beta+delta=0):}$
Le soluzioni sono $alpha=1,beta=-1,gamma=2,delta=1$ quindi si ha che
$((1,0),(0,0))=A-B+2C+D$
ovvero la n-upla delle coordinate del vettore $((1,0),(0,0))$ rispetto alla base $E$ è $(1,-1,2,1)$.
Okei, seconda domanda da ignorante:
Ma se calcolo $C_E( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) )$ ottengo il vettore della base canonica in base E e di conseguenza, cercando le sue immagini, non ottengo poi la matrice associata all'applicazione per un vettore rispetto alla base E?
Non so se ho espresso bene il mio dubbio... temo di trovare così due matrici associata all'applicazione rispetto sempre alla base E e non, come richiesto, una volta rispetto alla base canonica e una volta rispetto alla base E.
Ma se calcolo $C_E( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) )$ ottengo il vettore della base canonica in base E e di conseguenza, cercando le sue immagini, non ottengo poi la matrice associata all'applicazione per un vettore rispetto alla base E?
Non so se ho espresso bene il mio dubbio... temo di trovare così due matrici associata all'applicazione rispetto sempre alla base E e non, come richiesto, una volta rispetto alla base canonica e una volta rispetto alla base E.
"SaucyDrew":
Ma se calcolo $C_E( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) )$ ottengo il vettore della base canonica in base E e di conseguenza, cercando le sue immagini, non ottengo poi la matrice associata all'applicazione per un vettore rispetto alla base E?
Il discorso è il seguente: devi calcolare la matrice di $f$ rispetto alla base canonica delle matrici in partenza e alla base canonica dei polinomi in arrivo, dunque ti servono le immagini dei vettori della base canonica delle matrici attraverso $f$. Ora tu queste non le hai,ma puoi ricavartele perchè sai quali sono le immagini dei vettori di un'altra base $E$; infatti se ad esempio le coordinate di $((1,0),(0,0))$ rispetto alla base $E$ (che ho calcolato come ti ho fatto vedere prima) sono $(1,-1,2,1)$ vuol dire che $((1,0),(0,0))=1A-1B+2C+1D$ per cui posso trovarmi l'immagine di $((1,0),(0,0))$ facendo
$f(((1,0),(0,0)))=f(1A-1B+2C+1D)=1f(A)-1f(B)+2f(C)+1f(D)=$
$=1 cdot (1+x) -1 cdot (1+x-x^2)+2 cdot (2+2x) +1 cdot (x^2)=1+x-1-x+x^2+4+4x+x^2=$
$=4+4x+2x^2$
Quindi ora che ho l'immagine del primo vettore della base di partenza non devo far altro che trovarmi le sue coordinate rispetto alla base di arrivo che sono $(4,4,2)$: questa è la prima colonna della matrice.
Il discorso merita un approfondimento.
Continuando sulla traccia di Marco abbiamo che :
\(\displaystyle f \begin{pmatrix} {1}&{0}\\{0}&{0}\end{pmatrix} =4+4x+2x^2\)
\(\displaystyle f \begin{pmatrix} {0}&{1}\\{0}&{0}\end{pmatrix}=-1-x-2x^2\)
\(\displaystyle f \begin{pmatrix} {0}&{0}\\{1}&{0}\end{pmatrix}=2+2x\)
\(\displaystyle f \begin{pmatrix} {0}&{0}\\{0}&{1}\end{pmatrix}=x^2\)
Per la generica matrice 2x2 sarà allora:
\(\displaystyle \begin{pmatrix} {p}&{q}\\{r}&{s}\end{pmatrix}= p\begin{pmatrix} {1}&{0}\\{0}&{0}\end{pmatrix} +q\begin{pmatrix} {0}&{1}\\{0}&{0}\end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} {0}&{0}\\{1}&{0}\end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} {0}&{0}\\{0}&{1}\end{pmatrix} \)
Passando alle immagini avremo:
\(\displaystyle f \begin{pmatrix} {p}&{q}\\{r}&{s}\end{pmatrix} =(4p-q+2r)+(4p-q+2r)x+(2p-2q+s)x^2=(4p-q+2r,4p-q+2r,2p-2q+s)\begin{pmatrix} {1}\\{x}\\{x^2}\end{pmatrix} \)
La matrice M richiesta è in realtà il vettore :
\(\displaystyle A=(4p-q+2r,4p-q+2r,2p-2q+s)\)
Continuando sulla traccia di Marco abbiamo che :
\(\displaystyle f \begin{pmatrix} {1}&{0}\\{0}&{0}\end{pmatrix} =4+4x+2x^2\)
\(\displaystyle f \begin{pmatrix} {0}&{1}\\{0}&{0}\end{pmatrix}=-1-x-2x^2\)
\(\displaystyle f \begin{pmatrix} {0}&{0}\\{1}&{0}\end{pmatrix}=2+2x\)
\(\displaystyle f \begin{pmatrix} {0}&{0}\\{0}&{1}\end{pmatrix}=x^2\)
Per la generica matrice 2x2 sarà allora:
\(\displaystyle \begin{pmatrix} {p}&{q}\\{r}&{s}\end{pmatrix}= p\begin{pmatrix} {1}&{0}\\{0}&{0}\end{pmatrix} +q\begin{pmatrix} {0}&{1}\\{0}&{0}\end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} {0}&{0}\\{1}&{0}\end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} {0}&{0}\\{0}&{1}\end{pmatrix} \)
Passando alle immagini avremo:
\(\displaystyle f \begin{pmatrix} {p}&{q}\\{r}&{s}\end{pmatrix} =(4p-q+2r)+(4p-q+2r)x+(2p-2q+s)x^2=(4p-q+2r,4p-q+2r,2p-2q+s)\begin{pmatrix} {1}\\{x}\\{x^2}\end{pmatrix} \)
La matrice M richiesta è in realtà il vettore :
\(\displaystyle A=(4p-q+2r,4p-q+2r,2p-2q+s)\)
"vittorino70":
La matrice M richiesta è in realtà il vettore :
\(\displaystyle A=(4p-q+2r,4p-q+2r,2p-2q+s)\)
Questa è una definizione esplicita della mappa $f$; la matrice associata a $f$ (rispetto alle basi canoniche) è
$M=((4,-1,2,0),(4,-1,2,0),(2,-2,0,1))$;
infatti se provi a calcolarti l'immagine di $x=((1,0),(0,0))$ ottieni
$f(x)=M(1,0,0,0)^t=$ dove il vettore $(1,0,0,0)$ sono le coordinate di $x$ rispetto alla base canonica
$=((4,-1,2,0),(4,-1,2,0),(2,-2,0,1))((1),(0),(0),(0))=(4,4,2)$
che nient'altro sono che le coordinate di $f(x)$ in base canonica dei polinomi e quindi
$f(x)=4+4x+2x^2$
Okei, quindi, ricapitolando
Data
$E={A=( ( 1 , −1 ),( 1 , 0 ) ), B=( ( 0 , 1 ),( 1 , 1 ) ), C=( ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) ), D=( ( 0 , 0 ),( 0 , 1) )}$
Base per $M(2x2)$
Scrivo i vettori della base canonica nella base $E$ in questo modo
$a( ( 1 , −1 ),( 1 , 0 ) )+b( ( 0 , 1 ),( 1 , 1 ) )+c( ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) )+d( ( 0 , 0 ),( 0 , 1) )=( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) )$
ripetendo il processo per gli altri vettori ottengo:
$( ( 1 , -1 ),( 2 , 1 ) ), ( ( 0 , 1 ),( -1 , -1 ) ), ( ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) ), ( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $
Poi applico $f$ sfruttando appunto la sua linearità come detto da marco.bre:
$f( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) )=f(A)-f(B)+2f(C)+f(D)$ ottenendo $4+4x+2x^2$
ripetendo il processo per gli altri vettori ottengo:
$ ( ( 4 , -1 , 2 , 0 ),( 4 , -1 , 2 ,0 ),( 2 , -2 , 0 , 1 ) ) $
ovvero la matrice associata a $f$ rispetto alla base canonica e alla base canonica di $P^2$
mentre
$ ( ( 1 , 1 , 2 , 0 ),( 1 , 1 , 2 ,0 ),( 0 , -1 , 0 , 1 ) ) $
sarebbe la matrice associata a $f$ rispetto alla base $E$ e alla base canonica di $P^2$
Giusto così?
Il processo è chiarissimo, l'unica cosa che ancora mi perplime è il perchè abbiamo dovuto scrivere i vettori della base canonica in base $E$... Forse perchè altrimenti non avremmo potuto conoscere le sue immagini attraverso $f$ dal momento che non sapevamo come agisce $f$ sulla base canonica?
Data
$E={A=( ( 1 , −1 ),( 1 , 0 ) ), B=( ( 0 , 1 ),( 1 , 1 ) ), C=( ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) ), D=( ( 0 , 0 ),( 0 , 1) )}$
Base per $M(2x2)$
Scrivo i vettori della base canonica nella base $E$ in questo modo
$a( ( 1 , −1 ),( 1 , 0 ) )+b( ( 0 , 1 ),( 1 , 1 ) )+c( ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) )+d( ( 0 , 0 ),( 0 , 1) )=( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) )$
ripetendo il processo per gli altri vettori ottengo:
$( ( 1 , -1 ),( 2 , 1 ) ), ( ( 0 , 1 ),( -1 , -1 ) ), ( ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) ), ( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $
Poi applico $f$ sfruttando appunto la sua linearità come detto da marco.bre:
$f( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) )=f(A)-f(B)+2f(C)+f(D)$ ottenendo $4+4x+2x^2$
ripetendo il processo per gli altri vettori ottengo:
$ ( ( 4 , -1 , 2 , 0 ),( 4 , -1 , 2 ,0 ),( 2 , -2 , 0 , 1 ) ) $
ovvero la matrice associata a $f$ rispetto alla base canonica e alla base canonica di $P^2$
mentre
$ ( ( 1 , 1 , 2 , 0 ),( 1 , 1 , 2 ,0 ),( 0 , -1 , 0 , 1 ) ) $
sarebbe la matrice associata a $f$ rispetto alla base $E$ e alla base canonica di $P^2$
Giusto così?
Il processo è chiarissimo, l'unica cosa che ancora mi perplime è il perchè abbiamo dovuto scrivere i vettori della base canonica in base $E$... Forse perchè altrimenti non avremmo potuto conoscere le sue immagini attraverso $f$ dal momento che non sapevamo come agisce $f$ sulla base canonica?
Ringrazio Marco.Bre per la precisazione .Mi è servita per chiarirmi un dubbio sui vettori "coordinati" !
Ringraziamenti anche a SaucyDrew per avermi fatto conoscere il verbo "PERPLIMERE"!:D
Ringraziamenti anche a SaucyDrew per avermi fatto conoscere il verbo "PERPLIMERE"!:D
"vittorino70":
Ringrazio Marco.Bre per la precisazione .Mi è servita per chiarirmi un dubbio sui vettori "coordinati" !
Ringraziamenti anche a SaucyDrew per avermi fatto conoscere il verbo "PERPLIMERE"!:D
Ahahahah! Figurati!
"SaucyDrew":
Okei, quindi, ricapitolando
Il processo è chiarissimo, l'unica cosa che ancora mi perplime è il perchè abbiamo dovuto scrivere i vettori della base canonica in base $E$... Forse perchè altrimenti non avremmo potuto conoscere le sue immagini attraverso $f$ dal momento che non sapevamo come agisce $f$ sulla base canonica?
Tutto corretto!
Usi le coordinate rispetto alla base $E$ solo perchè le uniche immagini che conosci sono quelle dei vettori della sua base; se al posto di avere quelle tu avessi avuto le immagini dei vettori della base canonica delle matrici avresti saltato quel procedimeneto limitandoti a scrivere le coordinate rispetto alla base di arrivo delle immagini dei vettori della base canonica delle matrici! E' più complicato a dirsi che a farsi, se ancora non ti è chiaro do dei nomi e ti rispiego.Magari prova a fare qualche esercizio più facile con operatori da $bbbR^n$ a $bbbR^m$ così vedi se hai capito.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo