Algoritmo di Lagrange e di Gram-Schmidt
Mi sembrano che i due algoritmi di Lagrange e di Gram-Schimdt per trovare basi ortogonali siano operativamente quasi identici...c'è qualche differenza (anche concettuale) tra i due o in realtà sono lo stesso risultato con nomi diversi?
Risposte
Certo che c'è!
Tu il procedimonto di Gramm lo usi quando hai un prodotto scalare! Ti ricordo che il prodotto scalare è una forma definita e perciò non ha vettori isotropi! Quindi la prima differenza consiste nel fatto che l'algoritmo di Gram prevede solo un passo che è quello dell'ortogonalizzazione di tutti i vettori e poi normalizzazione, mentre in quello di Lagrange puoi avere vettori isotropi, e quindi potrebbe non avere senso il coefficiente di Fourier! Un'altra differenza consiste nel fatto che con i prodotti scalari puoi parlare di norme, mentre la norma con una forma bilineare in generale non ha senso!
Spero di essere stato chiaro! Anche se il principio bene o male è lo stesso!
Tu il procedimonto di Gramm lo usi quando hai un prodotto scalare! Ti ricordo che il prodotto scalare è una forma definita e perciò non ha vettori isotropi! Quindi la prima differenza consiste nel fatto che l'algoritmo di Gram prevede solo un passo che è quello dell'ortogonalizzazione di tutti i vettori e poi normalizzazione, mentre in quello di Lagrange puoi avere vettori isotropi, e quindi potrebbe non avere senso il coefficiente di Fourier! Un'altra differenza consiste nel fatto che con i prodotti scalari puoi parlare di norme, mentre la norma con una forma bilineare in generale non ha senso!
Spero di essere stato chiaro! Anche se il principio bene o male è lo stesso!
Il prodotto scalare non ha vettori isotropi? Su questa proposizione affermo seri dubbi. Se prendi una matrice simmetrica e con qualche zero nella diagonale rappresenta un prodotto scalare, ma effettivamente l'elemento nullo della diagonale della matrice rappresenta un vettore della base, w, tale che $\phi(w,w)=0$...
Io sto parlando ragazzi di prodotti scalari non di forme bilineari! Attenzione!
Nei prodotti scalari è una richiesta che si fa proprio nella definizione! Poniamo che il prodotto scalare di un vettore per se stesso sia maggiore o uguale a zero, e che sia nullo solo per il vettore nullo! Ma dato che il vettore nullo (anche se appartiene al cono isotropo) non è isotropo...
Nei prodotti scalari è una richiesta che si fa proprio nella definizione! Poniamo che il prodotto scalare di un vettore per se stesso sia maggiore o uguale a zero, e che sia nullo solo per il vettore nullo! Ma dato che il vettore nullo (anche se appartiene al cono isotropo) non è isotropo...
Comunque non ho capito bene la differenza tra i due algoritmi...e comunque ho un problema a vedere l'equivalenza tra l'algoritmo di lagrange che c'è su wikipedia e sul mio libro, e di quello che ci ha fatto vedere la professoressa...
Un altra cosa veloce...nella dimostrazione del teorema di Sylvester, ho che ${z_1,\cdots,z_n}$ è una base di V spazio vettoriale. W è un sottospazio di dimensione uguale all'indice di positività, mentre ${z_{p+1},\cdots,z_n}$ è un altro sottospazio Z. Da dove si deduce che il prodotto scalare ristretto a Z è definito negativo?
Un altra cosa veloce...nella dimostrazione del teorema di Sylvester, ho che ${z_1,\cdots,z_n}$ è una base di V spazio vettoriale. W è un sottospazio di dimensione uguale all'indice di positività, mentre ${z_{p+1},\cdots,z_n}$ è un altro sottospazio Z. Da dove si deduce che il prodotto scalare ristretto a Z è definito negativo?
Partiamo da una cosa, mi dici la definizione di forma bilineare e di prodotto scalare?
Poi vediamo il teorema di Sylvester!
Poi vediamo il teorema di Sylvester!
Chiamasi \underline{forma bilineare su campo K} un applicazione del tipo $V\times V\mapsto \K$ che soddisfa le seguenti proprietà
1. Linearità prima variabile: $\phi(x+y,z)=\phi(x,z)+\phi(y,z)$, $\phi(\alpha x,y) =\alpha(x,y)$
2. Linearità seconda variabile: uguale alla precedente, solo nella seconda variabile.
Se vale anche
3. Simmetria: $\phi(x,y)=\phi(y,x)$
Siamo in presenza di un prodotto scalare.
1. Linearità prima variabile: $\phi(x+y,z)=\phi(x,z)+\phi(y,z)$, $\phi(\alpha x,y) =\alpha(x,y)$
2. Linearità seconda variabile: uguale alla precedente, solo nella seconda variabile.
Se vale anche
3. Simmetria: $\phi(x,y)=\phi(y,x)$
Siamo in presenza di un prodotto scalare.
Mi ritrovo con la prima definizione, ma non con la seconda! Perchè io richiedo anche che sia una forma definita! Mo non so se è giusta anche la tua!
beh no...i miei libri confermano...non c'è nella definizione...
Posso chiederti che libro usi?
Gli appunti della mia prof. e l'Abate (Geometria)
Ogni tanto, purtroppo, capitano questi problemi di terminologia! 
C'è chi chiama prodotto scalare ogni forma bilineare simmetrica e chi chiama prodotto scalare solo le forme bilineari simmetriche definite positive, ovviamente tutto questo nel caso reale.
Premesso che io utilizzo la prima definizione come te, sto studiando anch'io queste cose e, a quanto ho capito, la differenza sta nel fatto che l'algoritmo di Lagrange serve a diagonalizzare qualsiasi prodotto scalare, mentre l'ortonormalizzazione di Gram-Schmidt serve a diagonalizzare solo i prodotti scalari definiti positivi.
C'è chi chiama prodotto scalare ogni forma bilineare simmetrica e chi chiama prodotto scalare solo le forme bilineari simmetriche definite positive, ovviamente tutto questo nel caso reale.
Premesso che io utilizzo la prima definizione come te, sto studiando anch'io queste cose e, a quanto ho capito, la differenza sta nel fatto che l'algoritmo di Lagrange serve a diagonalizzare qualsiasi prodotto scalare, mentre l'ortonormalizzazione di Gram-Schmidt serve a diagonalizzare solo i prodotti scalari definiti positivi.
ma a livello di ALGORITMO sono la stessa cosa? Cioè "manualmente", si fa lo stesso conto?
No, perchè da una parte normalizzi e da una parte no! Mentre il procedimento per ortogonalizzare è lo stesso a meno di vettori isotropi.
"Mrhaha":
No, perchè da una parte normalizzi e da una parte no! Mentre il procedimento per ortogonalizzare è lo stesso a meno di vettori isotropi.
Ovviamente se si vuole diagonalizzare una forma bilineare simmetrica definita positiva o meno è sufficiente trovare una base ortogonale, non necessariamente ortonormale. Come ha detto Mrhaha, i due algoritmoritmi sono sostanzialmente li stessi, con un unica differenza: se nel diagonalizzare una forma bilineare simmetrica il primo vettore della base che stai diagonalizzando è isotropo, allora devi fare una permutazione di tali vettori perchè altrimenti il coefficiente di Fourier non avrebbe senso (avendo uno zero al denominatore).
Concordo pienamente!
Capito grazie molte!
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