Trovare una base di autovettori per un endomorfismo

[Newton_1372]

V spazio euclideo, u un vettore di norma 1, $V_1=\Span(u)^\bot$. La riflessione attorno a V1 è definita come

$S(v)=v-2\phi(v,u)u$.

Prima bisognava dimostrare che è un isometria autoaggiunta (cosa che ho fatto), e poi dovrei trovare una base ortonormale di autovettori per $f$.

Questo secondo punto non so come svilupparlo..non ho nessuna indicazione, non so cos'è V, non conosco neanche la sua dimensione. Comunque ho ragionato così

$V= V_1\oplus \Span(u)$, quindi sicuramente $u$ fa parte di questa base (si vede subito anche che è un autovettore). Ora occorrerebbe trovare una base di autovettori per $\Span(u)^\bot$...come posso procedere?

[Newton_1372]

Tra l'altro mi sono accorto che qualunque vettore in $V_1$ viene mandato in se stesso, e quindi l'applicazione ristretta a V1 è nient'altro che l'identità...quindi basta prendere n-1 vettori linearmente indipendenti in lì dentro per completare u a base di V di autovettori per f...

ma mi chiedo se non c'è altro da dire...posso elencare dettagliatamente una base di autovettori, solo con le informazioni che ho in possesso?

[Newton_1372]

up

[Sk_Anonymous]

$[vecv=\sum_{k=1}^(n-1)v_kvec(e_k)+v_uvecu] rarr[S(vecv)=\sum_{k=1}^(n-1)v_kvec(e_k)-v_uvecu]$

$[veca=\sum_{k=1}^(n-1)a_kvec(e_k)] rarr [S(veca)=\sum_{k=1}^(n-1)a_kvec(e_k)] rarr [S(veca)=veca] rarr [lambda=+1]$

$[vecb=b_uvecu] rarr [S(vecb)=-b_uvecu] rarr [S(vecb)=-vecb] rarr [lambda=-1]$

[Newton_1372]

Non ho ben capito cosa si è fatto...allora, si prende il generico vettore v espresso come combinazione lineare dei vettori della base canonica e si vede dove va...e si vede che se v è in Span di u ortogonale allora appartiene all'autospazio di autovalore 1; se v appartiene a span u è autovettore di autovalore -1...

fin qui ci sono...allora questa base di autovettori oltre a contenere un vettore di span u deve contenere n-1 vettori di span u ortogonale...ma io vorrei sapere QUALI VETTORI di u ortogonale...sono in grado di fare un elenco?

[Sk_Anonymous]

Devi solo precisare che $[vec(e_1),...,vec(e_(n-1)),vecu]$ è una base ortonormale costruita prendendo una generica base ortonormale del complemento ortogonale di $[Span(vecu)]$ e completandola con $[vecu]$. Ovviamente, $[vec(e_1),...,vec(e_(n-1))]$ non sono necessariamente vettori appartenenti alla base canonica. Inoltre, siccome possono essere scelti in infiniti modi, basta indicarne uno solo con il formalismo del mio post precedente.

[Newton_1372]

Il problema è che non è specificato se quelli siano vettori di $\R^3$ o cos'altro...per cui non so come "come prenderli" sti vettori...c'è scritto solo "spazio metrico", potrebbero essere polinomi, matrici, ennuple o chissà cos'altro..

[Sk_Anonymous]

"newton_1372":
Il problema è che non è specificato se quelli siano vettori di $\R^3$ o cos'altro...

Non mi sembra di aver fatto supposizioni in tal senso.

"newton_1372":
...c'è scritto solo "spazio metrico"...

Al limite "spazio euclideo", come avevi scritto nel primo post.