Dimostrazioni sottospazio

[ludwigZero]

per esercizio, devo dimostrare che $RR$ è spazio vettoriale su se stesso.

In sostanza dovrei provare che soddisfa tutti gli assiomi [esistenza del neutro, commutatività per la somma etc etc]
In generale in $RR$ [campo dei numeri reali] prendevo gli scalari, e in uno insieme non vuoto E prendevo i vettori numerici.
Ora per provare i cosidetti assiomi, come e dove prendo i vettori numerici?


altro dubbio
su una slide su una dispensa, ho trovato che i sottospazi di $RR^3$ sono $2^3 = 8$ e li elenca
il piano $xy$,$yz$, $zx$, gli assi, l'origine e tutto $RR^3$
Domanda: come fa a scrivere l'algoritmo di $2^3 = 8$ ? ci si potrebbe arrivare intuitivamente?

[marco.bre]

"ludwigZero":per esercizio, devo dimostrare che $RR$ è spazio vettoriale su se stesso.
In sostanza dovrei provare che soddisfa tutti gli assiomi [essitenza del neutro, commutatività per la somma etc etc]
In generale in $RR$ [campo dei numeri reali] prendevo gli scalari, e in uno insieme non vuoto E prendevo i vettori numerici.
Ora per provare i cosidetti assiomi, come e dove prendo i vettori numerici?

Per definizione uno spazio vettoriale $V$ su un campo $bbbK$ è un insieme $V$ non vuoto su cui sono definite un'operazione interna $+:V times V to V$ detta somma e un'operazione esterna $cdot: V times bbbK to V$ detta prodotto per scalare tali che soddisfano determinati assiomi. Gli elementi di $V$ sono detti vettori, mentre gli elementi di $bbbK$ sono detti scalari.
Ora nel tuo esercizio hai $V=bbbR$ e $bbbK=bbbR$ per cui sia i vettori che gli scalari saranno numeri reali.

"ludwigZero": su una slide su una dispensa, ho trovato che i sottospazi di $RR^3$ sono $2^3 = 8$

Penso che hai capito male perchè i sottospazi di uno spazio vettoriale sono potenzialmente infiniti. Ad esempio in $bbbR^3$ ogni retta passante per l'origine è un sottospazio.

[ludwigZero]

Quindi per provare ogni assioma dovrei prendere i numeri reali? cioè tipo la commutatività della somma
$1+9 = 9 + 1$ va bene? o serve una verifica più formale?

per la questione dei sottospazi
strano perchè era proprio un esempio. evidentemente era una slide fasulla. Inoltre perchè affermi che sono 'potenzialmente' infiniti?

[marco.bre]

"ludwigZero":Quindi per provare ogni assioma dovrei prendere i numeri reali? cioè tipo la commutatività della somma
$1+9 = 9 + 1$ va bene? o serve una verifica più formale?

Esatto. Per una verifica della commutatività così come delle altre proprietà puoi limitarti a dire che $bbbR$ è un campo.
Prendi ad esempio proprio $V=bbbR$ come spazio vettoriale sul campo $bbbR$, gli unici sottospazi di $V$ sono dati da ${0}$ e da $V$ stesso.

[ludwigZero]

in effetti leggendo meglio più che la commutatività, dovrei anche far vedere che
se $E$ spazio vettoriale su $RR$ allora
1. $alpha v = 0$
2. $alpha 0 = 0$
3. $alpha * v = 0$ <=> $alpha = 0$ oppure $v=0$
4. $(-alpha) v = -(alpha v)$

ora queste relazioni sono dei casi particolari degli assiomi generali?

poi basti che metta $E=RR$ e faccio il caso del mio problema.
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dopo la richiesta di dimostrare ce $RR$ è uno spazio vettoriale su se stesso, viene generalizzato dicendo che lo stesso si può dire di $E=RR X RR X ..... X RR = RR^n$
allora mi chiedo, è meglio prima dimostrarlo per $RR^n$ cosi posso particolarizzare?

[marco.bre]

E' piuttosto indifferente. Se vuoi essere proprio rigoroso puoi dimostrarlo per induzione: lo dimostri per $bbbR$ (base dell'induzione), poi supponi che sia vero per $bbbR^n$ (ipotesi induttiva) e lo dimostri per $bbbR^(n+1)$