Dubbio esercizio trasformazioni lineari e matrici associate
Mi scuso per l'ennesimo topic, ma l'esame è vicino :S
3. Spazio vettoriale reale V di dimensione tre. Base $B=(v1,v2,v3)$. Assegnati gli endomorfismi $F:V→V $ e $G:V→V$
definiti rispettivamente da
$F(v)=(x1- x2 + x3)v1+( x1+ x2 )v2+(x1+x3)v3$
$G(v)=(x1+x2+2x3)v1+(x1-x2)v2+(2x1+2x3)v3$
essendo $v=x1v1+x2v2+x3v3$, si consideri il prodotto operatorio $G F: V→V.$
(a) Determinare la matrice $C$ associata all’endomorfismo $G°F$ rispetto alla base $B$.
(b) Determinare il nucleo e l’immagine di $G°F.$
(c) Dire se $G°F$ è un automorfismo.
Io penso di aver risolto l'esercizio, ma non so se è corretto, quindi ve lo chiedo per sicurezza
La matrice associata ad $F$ l'ho scritta come: $B$ = [img]http://www4d.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP53051a01ggb0ai5dhd0700005g4363da91e75h97?MSPStoreType=image/gif&s=38&w=73&h=56[/img] mentre quella associata a G : $X$ = [img]http://www4d.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP27661a01h323587764ge00000e1c9di74h9a056c?MSPStoreType=image/gif&s=37&w=73&h=56[/img]
Dunque ho pensato che per trovare la matrice associata a $G°F$ bastasse fare $X*B$ e ho dunque ottenuto [img]http://www4a.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP15471a01h4gf74457c7i00000cg6e4bd77066b7h?MSPStoreType=image/gif&s=10&w=73&h=56[/img]
Sul seguito non ho dubbi nel caso quanto scritto sopra è corretto, se non per la terminologia da usare, cioè quello che trovo sono vettori di coordinate, vabbene dire per esempio per quanto riguarda l'immagine "I vettori dell'immagine sono tutti quelli tali che le coordinate sono in $<|x,y,z|, |a,b,c|>$ ?
Grazie e scusate se ho posto la domanda in modo confuso
3. Spazio vettoriale reale V di dimensione tre. Base $B=(v1,v2,v3)$. Assegnati gli endomorfismi $F:V→V $ e $G:V→V$
definiti rispettivamente da
$F(v)=(x1- x2 + x3)v1+( x1+ x2 )v2+(x1+x3)v3$
$G(v)=(x1+x2+2x3)v1+(x1-x2)v2+(2x1+2x3)v3$
essendo $v=x1v1+x2v2+x3v3$, si consideri il prodotto operatorio $G F: V→V.$
(a) Determinare la matrice $C$ associata all’endomorfismo $G°F$ rispetto alla base $B$.
(b) Determinare il nucleo e l’immagine di $G°F.$
(c) Dire se $G°F$ è un automorfismo.
Io penso di aver risolto l'esercizio, ma non so se è corretto, quindi ve lo chiedo per sicurezza
La matrice associata ad $F$ l'ho scritta come: $B$ = [img]http://www4d.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP53051a01ggb0ai5dhd0700005g4363da91e75h97?MSPStoreType=image/gif&s=38&w=73&h=56[/img] mentre quella associata a G : $X$ = [img]http://www4d.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP27661a01h323587764ge00000e1c9di74h9a056c?MSPStoreType=image/gif&s=37&w=73&h=56[/img]
Dunque ho pensato che per trovare la matrice associata a $G°F$ bastasse fare $X*B$ e ho dunque ottenuto [img]http://www4a.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP15471a01h4gf74457c7i00000cg6e4bd77066b7h?MSPStoreType=image/gif&s=10&w=73&h=56[/img]
Sul seguito non ho dubbi nel caso quanto scritto sopra è corretto, se non per la terminologia da usare, cioè quello che trovo sono vettori di coordinate, vabbene dire per esempio per quanto riguarda l'immagine "I vettori dell'immagine sono tutti quelli tali che le coordinate sono in $<|x,y,z|, |a,b,c|>$ ?
Grazie e scusate se ho posto la domanda in modo confuso
Risposte
Scusate se "uppo" la discussione, ma l'esame è veramente prossimo e vorrei capire se sbaglio in qualcosa 
Uppi
Allora, sai come si calcola la matrice associata ad un endomorfismo?
Detto questo se $M$ è la matrice associata a $F$ e $N$ è la matrice associata a $G$ allora la matrice associata all'endomorfismo $G circ F$ è $NM$. N.B. le basi rispetto alle quali vengono calcolate le matrici associate devono essere "compatibili", nel senso che la base di arrivo di $F$ deve coincidere con la base di partenza di $G$).
Detto questo se $M$ è la matrice associata a $F$ e $N$ è la matrice associata a $G$ allora la matrice associata all'endomorfismo $G circ F$ è $NM$. N.B. le basi rispetto alle quali vengono calcolate le matrici associate devono essere "compatibili", nel senso che la base di arrivo di $F$ deve coincidere con la base di partenza di $G$).
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