Geometria e Algebra Lineare

Testo dell'esercizio: Sullo spazio proiettivo $\mathbb{P}^(n)(\mathbb{R})$ consideriamo la topologia quoziente della topologia euclidea su $\mathbb{R}^(n+1)$\ ${0}$ modulo la relazione di proporzionalità. (a) Mostrare che l’inclusione $j_0 : \mathbb{R}^(n) → \mathbb{P}^(n)(\mathbb{R})$ con $(x_1, . . . , x_n) → [1, x_1, . . . , x_n]$ è una compattificazione di $\mathbb{R}^n$ (cioè l’applicazione $j_0$ è un omemorfismo sulla sua immagine $j_0(\mathbb{R}^n)$, $\mathbb{P}^(n)(\mathbb{R})$ è compatto e $j_0(\mathbb{R}^n)$ è denso in ...

Ciao La definizione di spazio prodotto topologico che è stata data a lezione è: (Defizinione | I forma) dati due spazi topologici \(X\) e \(Y\), la lo spazio prodotto è il prodotto cartesiano \(X \times Y\) con la topologia meno fine tra quelle su \(A \times B\) per cui sono continue le funzioni, proiezioni, [tex]\xymatrix{ & X \times Y \ar[dl]_{p_X} \ar[dr]^{p_Y} & \\ X & & Y }[/tex] così definite: \(p_X(x, \_) = x\) e \(p_Y(\_, y) = y\). Chiamo ...

Sia \(G \) un gruppo topologico con punto base l'elemento neutro \(1_G\) e \( \mu : G \times G \to G \) la moltiplicazione, definiamo una legge di composizione \(\bullet \) su \( \pi_1 G \). Siano \(f,g : S^1 \to G \) due laccetti. Il laccetto \( f \bullet g \) è definito da \( (f \bullet g )(t9 = \mu ( f(t),g(t)) \). 1) Sia \( (X,x_0 ) \) uno spazio puntato. Dimostra che esiste un applicazione iniettiva (e continua) \( X \vee X \hookrightarrow X \times X \) che identifica il wedge come sotto ...

Salve, è il mio primo post qui sul forum! Il problema riguarda una proposizione di algebra lineare, in particolare su matrici e appllicazioni lineari. La proposizione dice: Sia $T : V -> W$ un'applicazione lineare, e siano $B$ e $C$ due basi di $V$. Allora $M_(C,C)(T) = M(B, C)^(−1)M_(B,B)(T)M(B, C)$ . Ovvero $M_(C,C)(T)$ e $M_(B,B)(T)$ sono simili. PS: Indico con $M_(C,C)(T)$ la matrice associata a T rispetto alla base C, e con $M(B, C)$ la matrice ...

Studiando dal mio libro di testo mi sono imbattuto nella rappresentazione del folium di Cartesio come applicazione $ sigma :R->R^2 $ dove $ sigma(t)=((3t)/(t^3+1),(3t^2)/(t^3+1)) $ con $ t\in (-1,+oo ) $. Il testo dice che questa è una curva parametrizzata iniettiva ma non un omeomorfismo con l'immagine Dice che l'applicazione è iniettiva, quindi sicuramente invertibile rispetto all'immagine, tuttavia non saprei come dimostrare, né che è iniettiva, né il fatto che non sia un omeomorfismo. Un ...

Salve, sto studiando la compattezza e so che esiste la proposizione secondo cui "un insieme e' compatto se e solo se e' chiuso e limitato". Questa affermazione e' vera solo in alcune topologie e quindi sto cercando una topologia in cui c'e' un elemento compatto ma che non sia chiuso e sto pensando alla topologia cofinita. Il problema e' che non riesco a mostrarlo direttamente. Suggerimenti?

Salve a tutti ho un dubbio sull'esercizio seguente: Sia $ V = {(x, y) ∈ C^2 : 5x − 2y = 0} sube C ^2 $ . a) Provare che V è un R-sottospazio vettoriale di C^2 b) Determinare una base e la dimensione di V come R-sottospazio vettoriale e come C- sottospazio vettoriale. So che l'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo è un sottospazio, ma io sono abituato a vederlo come C-sottospazio vettoriale di $C^2$ che sarebbe generato dal vettore $ (2,5) $ e in tal caso avrebbe dimensione 1. Cosa cambia ...

Buonasera, ho il seguente sistema $S={v,u,z}$ in $RR^4$, dove $u=(1,2,-1,3)\,\v=(0,1,2,3)\,\z=(2,1,-8,3)$ determino l'equazione del sottospazio generato $H$ da $S$, quindi considero la matrice completa $A$ dove \(\displaystyle A=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 & x \\ 2 & 1 & 1 & y \\ -1 & 2 & -8 & z \\ 3 & 3 & 3 & t \end{vmatrix} \) effettuo l'eliminazione di Gauss, risulta: \(\displaystyle A=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 & x \\ 0 & 1 & -3 & y-2x \\ 0 & 0 & 6 & 3x-3y+t ...

Ciao a tutti! Vorrei sapere se svolgo questo esercizio nella maniera corretta: Ho due rette sghembe r e s, devo determinare un punto su r che realizza la minima distanza tra esse. Le rette sono: \begin{equation*}r: \begin{cases} x=t \\ y=t \\ z=1-2t \end{cases} s: \begin{cases} x=1+s \\ y=s \\ z=s \end{cases} \end{equation*} Calcolo determinante tra i vettori direttori: \begin{equation*} \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1\end{vmatrix} = i-2j+k-k+2i-j= ...

Salve a tutti! Mi sono appena iscritta a questo sito che mi è stato più volte d'aiuto! In particolare, avrei bisogno di una mano su un problema che non riesco a capire. Il testo è il seguente: Sia f : R3 $rarr$ R3 la funzione lineare data da f(x, y, z) = (x + 2y + tz, 2x + 4y − 4z, −x + ty + 2z) (a) Scrivere la matrice di f rispetto alle basi canoniche e determinare il rango di f, al variare di t ∈ R. (b) Per il valore di t per cui il rango di f non è massimo, trovare una base ...

Date due rette sghembe $r: x+y+2z+5=2x-y+z-2=0$ e $s: x+y+z-7=2x+y-z-4=0$ mi chiede di calcolare prima la distanza tra di esse e poi di trovare un p.to M equidistante da r ed s. Per trovare la distanza ho prima calcolato il piano parallelo a r che contiene s, trovandomi i vettori direttori delle rette e un punto appartenente a s, dopodiché ho usato la formuletta della distanza punto-piano con un punto appartenente a r. Adesso però non so come trovare il punto M... Potete aiutarmi?? La distanza mi viene ...

Devo svolgere questo esercizio: Mostrare che il quoziente $O(n,\mathbb{R})$/$O(n−1,\mathbb{R})$ è omeomorfo a $\mathbb{S}^(n-1)$. Pensavo a questo: Il gruppo ortogonale agisce in modo naturale sulla sfera. Esiste un'applicazione continua $α: O(n)× \mathbb{S}^(n-1)\mapsto \mathbb{S}^(n-1)$ tale che, $\forall X\in O(n)$, l'applicazione $α(X,.): \mathbb{S}^(n-1) \mapsto \mathbb{S}^(n-1)$ è un omeomorfismo e, $\forall X,Y \in O(n)$ ho: $α(Y, α(X,.)) = α(Y X,.)$. L'azione è transitiva: $\forall P, Q \in \mathbb{S}^(n-1)$ $\exists X\in O(n)$ tale che: $α(X, P) = Q$. Lo stabilizzatore di un punto ...

Buongiorno. Ho questo esercizio, che ad una prima analisi mi pareva banale, ma poi mi sono perso, quasi subito. Esercizio: a) Si stabilisca se $ W = {(r+s)x^3 + (r+t)x^2+(s-t)x+ (r+t)| r,s,t in R}sube R3[x] $ è un sottospazio vettoriale di R3[x] e in caso affermativo se ne determini una base B. b) Si completi la base B trovata al punto precedente ad una base di W. Stabilire se sia un sottospazio segue le regole di chiusura per somma e prodotto e non mi sembrano esserci problemi. E' centrato per la terna (-t, t, t). W sembrerebbe un ...

Sia f : R^3 → R^3 un’applicazione lineare tale che f(e1) = f(e2) + (0, 0, 2), f(e2) = f(e3) − (0, 1, 0), f(e3) = f(1, 1, 1) Perché questo è f(e1 + e2 + e3) = f(1,1,1) ? Grazie in anticipo

Buongiorno. Dunque, ho questo esercizio che mi chiede di discutere la funzione che porta a questa matrice $ ( ( 2 , -1 , 1 ),( t , 1 , 1 ),( 1 , 0 , t ) )$ e mi viene chiesto di individuare se e per quali valori questa funzione sia invertibile. Potrei procedere con il determinante ma per una serie di motivi (nel mio corso è stata data meno enfasi al determinante e più a lavorare su Immagine e Nucleo) procedo analizzando Immagine e Nucleo. Dunque procedo ad individuare il Nucleo della funzione per discuterlo, arrivo a ...

Dato un endomorfismo $F(x_1,x_2,x_3)=(-1/2x_1 - \sqrt{3}/2 x_2 +1/2, - \sqrt{3}/2 x_1 +1/2 x_2 +\sqrt{3}/6, -x_3)$, si determini l'insieme S dei punti fissi da F: è un sottospazio affine o vettoriale? di quale dimensione? Allora, chiamata A la matrice associata all'endomorfismo, io pensavo di svolgerlo risolvendo $(A-Id)v=0$ \begin{equation*} A = \left(\begin{array}{cc} -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ -\sqrt{3}/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) \end{equation*} \begin{equation*} (A-Id)v = \left(\begin{array}{cc} -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ -\sqrt{3}/2 & ...

Ringrazio in anticipo chiunque voglia aiutarmi. Sto seguendo il mio primo corso di algebra lineare ed il libro (Lezioni di Geometria I di Ferruccio Orecchia) riporta una dimostrazione di un lemma di base che mi sta mettendo in crisi. Di seguito il lemma ed il punto della dimostrazione che non riesco a comprendere: "Sia A una matrice di Mn(K), n>= 2. Se si scambiano due righe (due colonne) di A si ottiene una matrice B tale che det(B) = -det(A)." Il punto della dimostrazione che non riesco a ...

Ho un dubbio con il seguente esercizio. Dire per quali t l'insieme {v1,v2,v3} è una base di R3 $ v1 = (1,-4,t); v2 = (2,t,0); v3 = (-4,2,t)$ Per trovare una base, pongo la matrice: $A=((1,2,-4 ),(-4 ,t,2),(t,0,t))$ eseguo la riduzione: $R2 = R2 + 4R1 ; R3 = R3 - tR1 $ $A=((1,2,-4 ),(0,t+8,-14),(0,-2t,5t))$ $R3 = R3 - (((-2t)/(t+8))*R2) $ $A' = ((1,2,-4 ),(0,t+8,-14),(0,0,(5t^2+12t)/(t+8)))$ Ora procedo nel seguente modo: per essere una base vi è bisogno che il sistema abbia soluzione/i. La soluzione c'è se $(5t^2+12t)/(t+8) = 0$ ottenendo: $A' = ((1,2,-4 ),(0,t+8,-14),(0,0,0))$ A questo punto avendo ottenuto 1 e t+8 come pivot posso ...

Allora so che il toro \(T^2 = S^1 \times S^1 \) e dunque \[ \pi_1 T^2 \cong \pi_1 S^1 \times \pi_1 S^1 \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \cong \left< x,y | xyx^{-1}y^{-1} \right> \] questo perché vedo \(S^1 \) come puntati. Ma l'esercizio mi chiede esplicitamente di calcolare il gruppo fondamentale del toro in un'altro modo e non riesco a trovare i buoni aperti con cui fare un ricoprimento del toro. Calcoliamo il gruppo fondamentale del toro nel seguente modo: 1) Trovare un ricoprimento del ...

Ho una certa curva nel piano Oxy e la voglio riportare in un nuovo riferimento ad esempio ruotato Ox'y'. Secondo voi è esatto ruotare il sistema di riferimento e poi riportarvi la curva data dopo averla trasformata con le opportune equazioni oppure il sistema di riferimento non ruota e viene rappresentata la curva nei due riferineti a questo punto coincidenti? Sono possibili tutte e due le cose?