Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Sia \(G \) un gruppo topologico con punto base l'elemento neutro \(1_G\) e \( \mu : G \times G \to G \) la moltiplicazione, definiamo una legge di composizione \(\bullet \) su \( \pi_1 G \). Siano \(f,g : S^1 \to G \) due laccetti. Il laccetto \( f \bullet g \) è definito da \( (f \bullet g )(t9 = \mu ( f(t),g(t)) \).
1) Sia \( (X,x_0 ) \) uno spazio puntato. Dimostra che esiste un applicazione iniettiva (e continua) \( X \vee X \hookrightarrow X \times X \) che identifica il wedge come sotto ...
Salve, è il mio primo post qui sul forum! Il problema riguarda una proposizione di algebra lineare, in particolare su matrici e appllicazioni lineari. La proposizione dice:
Sia $T : V -> W$ un'applicazione lineare, e siano $B$ e $C$ due basi di $V$. Allora $M_(C,C)(T) = M(B, C)^(−1)M_(B,B)(T)M(B, C)$ . Ovvero $M_(C,C)(T)$ e $M_(B,B)(T)$ sono simili.
PS: Indico con $M_(C,C)(T)$ la matrice associata a T rispetto alla base C, e con $M(B, C)$ la matrice ...
Studiando dal mio libro di testo mi sono imbattuto nella rappresentazione del folium di Cartesio come applicazione $ sigma :R->R^2 $ dove $ sigma(t)=((3t)/(t^3+1),(3t^2)/(t^3+1)) $ con $ t\in (-1,+oo ) $.
Il testo dice che questa è una curva parametrizzata iniettiva ma non un omeomorfismo con l'immagine
Dice che l'applicazione è iniettiva, quindi sicuramente invertibile rispetto all'immagine, tuttavia non saprei come dimostrare, né che è iniettiva, né il fatto che non sia un omeomorfismo.
Un ...
Salve, sto studiando la compattezza e so che esiste la proposizione secondo cui "un insieme e' compatto se e solo se e' chiuso e limitato". Questa affermazione e' vera solo in alcune topologie e quindi sto cercando una topologia in cui c'e' un elemento compatto ma che non sia chiuso e sto pensando alla topologia cofinita. Il problema e' che non riesco a mostrarlo direttamente. Suggerimenti?
Salve a tutti ho un dubbio sull'esercizio seguente:
Sia $ V = {(x, y) ∈ C^2 : 5x − 2y = 0} sube C ^2 $ .
a) Provare che V è un R-sottospazio vettoriale di C^2
b) Determinare una base e la dimensione di V come R-sottospazio vettoriale e come C-
sottospazio vettoriale.
So che l'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo è un sottospazio, ma io sono abituato a vederlo come C-sottospazio vettoriale di $C^2$ che sarebbe generato dal vettore $ (2,5) $ e in tal caso avrebbe dimensione 1. Cosa cambia ...
Buonasera, ho il seguente sistema $S={v,u,z}$ in $RR^4$, dove $u=(1,2,-1,3)\,\v=(0,1,2,3)\,\z=(2,1,-8,3)$ determino l'equazione del sottospazio generato $H$ da $S$, quindi considero la matrice completa $A$ dove
\(\displaystyle A=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 & x \\ 2 & 1 & 1 & y \\ -1 & 2 & -8 & z \\ 3 & 3 & 3 & t \end{vmatrix} \) effettuo l'eliminazione di Gauss, risulta:
\(\displaystyle A=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 & x \\ 0 & 1 & -3 & y-2x \\ 0 & 0 & 6 & 3x-3y+t ...
Ciao a tutti!
Vorrei sapere se svolgo questo esercizio nella maniera corretta:
Ho due rette sghembe r e s, devo determinare un punto su r che realizza la minima distanza tra esse.
Le rette sono:
\begin{equation*}r:
\begin{cases}
x=t \\
y=t \\
z=1-2t
\end{cases}
s:
\begin{cases}
x=1+s \\
y=s \\
z=s
\end{cases}
\end{equation*}
Calcolo determinante tra i vettori direttori:
\begin{equation*}
\begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1\end{vmatrix} = i-2j+k-k+2i-j= ...
Salve a tutti!
Mi sono appena iscritta a questo sito che mi è stato più volte d'aiuto! In particolare, avrei bisogno di una mano su un problema che non riesco a capire.
Il testo è il seguente:
Sia f : R3 $rarr$ R3
la funzione lineare data da
f(x, y, z) = (x + 2y + tz, 2x + 4y − 4z, −x + ty + 2z)
(a) Scrivere la matrice di f rispetto alle basi canoniche e determinare il rango di f, al variare di t ∈ R.
(b) Per il valore di t per cui il rango di f non è massimo, trovare una base ...
Date due rette sghembe $r: x+y+2z+5=2x-y+z-2=0$ e $s: x+y+z-7=2x+y-z-4=0$ mi chiede di calcolare prima la distanza tra di esse e poi di trovare un p.to M equidistante da r ed s.
Per trovare la distanza ho prima calcolato il piano parallelo a r che contiene s, trovandomi i vettori direttori delle rette e un punto appartenente a s, dopodiché ho usato la formuletta della distanza punto-piano con un punto appartenente a r. Adesso però non so come trovare il punto M... Potete aiutarmi??
La distanza mi viene ...
Devo svolgere questo esercizio:
Mostrare che il quoziente $O(n,\mathbb{R})$/$O(n−1,\mathbb{R})$ è omeomorfo a $\mathbb{S}^(n-1)$.
Pensavo a questo:
Il gruppo ortogonale agisce in modo naturale sulla sfera. Esiste un'applicazione continua $α: O(n)× \mathbb{S}^(n-1)\mapsto \mathbb{S}^(n-1)$ tale che, $\forall X\in O(n)$, l'applicazione $α(X,.): \mathbb{S}^(n-1) \mapsto \mathbb{S}^(n-1)$ è un omeomorfismo e, $\forall X,Y \in O(n)$ ho:
$α(Y, α(X,.)) = α(Y X,.)$.
L'azione è transitiva: $\forall P, Q \in \mathbb{S}^(n-1)$ $\exists X\in O(n)$ tale che:
$α(X, P) = Q$. Lo stabilizzatore di un punto ...
Buongiorno.
Ho questo esercizio, che ad una prima analisi mi pareva banale, ma poi mi sono perso, quasi subito.
Esercizio:
a) Si stabilisca se $ W = {(r+s)x^3 + (r+t)x^2+(s-t)x+ (r+t)| r,s,t in R}sube R3[x] $ è un sottospazio vettoriale di R3[x] e in caso affermativo se ne determini una base B.
b) Si completi la base B trovata al punto precedente ad una base di W.
Stabilire se sia un sottospazio segue le regole di chiusura per somma e prodotto e non mi sembrano esserci problemi. E' centrato per la terna (-t, t, t).
W sembrerebbe un ...
Sia f : R^3 → R^3 un’applicazione lineare tale che
f(e1) = f(e2) + (0, 0, 2), f(e2) = f(e3) − (0, 1, 0), f(e3) = f(1, 1, 1)
Perché questo è f(e1 + e2 + e3) = f(1,1,1) ?
Grazie in anticipo
Buongiorno.
Dunque, ho questo esercizio che mi chiede di discutere la funzione che porta a questa matrice
$ ( ( 2 , -1 , 1 ),( t , 1 , 1 ),( 1 , 0 , t ) )$
e mi viene chiesto di individuare se e per quali valori questa funzione sia invertibile.
Potrei procedere con il determinante ma per una serie di motivi (nel mio corso è stata data meno enfasi al determinante e più a lavorare su Immagine e Nucleo) procedo analizzando Immagine e Nucleo.
Dunque procedo ad individuare il Nucleo della funzione per discuterlo, arrivo a ...
Dato un endomorfismo $F(x_1,x_2,x_3)=(-1/2x_1 - \sqrt{3}/2 x_2 +1/2, - \sqrt{3}/2 x_1 +1/2 x_2 +\sqrt{3}/6, -x_3)$, si determini l'insieme S dei punti fissi da F: è un sottospazio affine o vettoriale? di quale dimensione?
Allora, chiamata A la matrice associata all'endomorfismo, io pensavo di svolgerlo risolvendo $(A-Id)v=0$
\begin{equation*}
A =
\left(\begin{array}{cc} -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ -\sqrt{3}/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right)
\end{equation*}
\begin{equation*}
(A-Id)v =
\left(\begin{array}{cc} -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ -\sqrt{3}/2 & ...
Ringrazio in anticipo chiunque voglia aiutarmi.
Sto seguendo il mio primo corso di algebra lineare ed il libro (Lezioni di Geometria I di Ferruccio Orecchia) riporta una dimostrazione di un lemma di base che mi sta mettendo in crisi. Di seguito il lemma ed il punto della dimostrazione che non riesco a comprendere:
"Sia A una matrice di Mn(K), n>= 2. Se si scambiano due righe (due colonne) di A si ottiene una matrice B tale che det(B) = -det(A)."
Il punto della dimostrazione che non riesco a ...
Ho un dubbio con il seguente esercizio.
Dire per quali t l'insieme {v1,v2,v3} è una base di R3
$ v1 = (1,-4,t); v2 = (2,t,0); v3 = (-4,2,t)$
Per trovare una base, pongo la matrice:
$A=((1,2,-4 ),(-4 ,t,2),(t,0,t))$
eseguo la riduzione:
$R2 = R2 + 4R1 ; R3 = R3 - tR1 $
$A=((1,2,-4 ),(0,t+8,-14),(0,-2t,5t))$
$R3 = R3 - (((-2t)/(t+8))*R2) $
$A' = ((1,2,-4 ),(0,t+8,-14),(0,0,(5t^2+12t)/(t+8)))$
Ora procedo nel seguente modo: per essere una base vi è bisogno che il sistema abbia soluzione/i. La soluzione c'è se $(5t^2+12t)/(t+8) = 0$
ottenendo:
$A' = ((1,2,-4 ),(0,t+8,-14),(0,0,0))$
A questo punto avendo ottenuto 1 e t+8 come pivot posso ...
Allora so che il toro \(T^2 = S^1 \times S^1 \) e dunque \[ \pi_1 T^2 \cong \pi_1 S^1 \times \pi_1 S^1 \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \cong \left< x,y | xyx^{-1}y^{-1} \right> \]
questo perché vedo \(S^1 \) come puntati. Ma l'esercizio mi chiede esplicitamente di calcolare il gruppo fondamentale del toro in un'altro modo e non riesco a trovare i buoni aperti con cui fare un ricoprimento del toro.
Calcoliamo il gruppo fondamentale del toro nel seguente modo:
1) Trovare un ricoprimento del ...
Ho una certa curva nel piano Oxy e la voglio riportare in un nuovo riferimento ad esempio ruotato Ox'y'.
Secondo voi è esatto ruotare il sistema di riferimento e poi riportarvi la curva data dopo averla trasformata con le opportune equazioni oppure il sistema di riferimento non ruota e viene rappresentata la curva nei due riferineti a questo punto coincidenti? Sono possibili tutte e due le cose?
Dimostra che \(S^1 \) e il nastro di Moebius sono omotopi.
Credo che con omotopi intende omotopicamente equivalenti. Quindi dovrei trovare due applicazioni \(f: S^1 \to M \) e \( g: M \to S^1 \) tale che \( g \circ f \) è omotopo all'identità su \( S^1 \) e \( f \circ g \) è omotopo all'identità su \( M \). Dove con \(M \) indico il nastro di Moebius.
Mentre le soluzioni del prof mi dicono una cosa che non abbiamo mai visto e vorrei capire perché funziona.
Identifichiamo \(M \) con il ...
Per $W\subset V$, trovare una base dello spazio quoziente \(V/W\).
Sia $B_W=(w_1,...,w_m)$ una base di $W$. Tale base può sempre essere estesa con opportuni vettori ad una base di $V$, $B_V=(w_1,...,w_m,v_{m+1},...,v_n)$. Claim: una base per lo spazio quoziente è data dall'insieme $(f(v_{m+1}),...,f(v_n))$, dove $f$ è l'omomorfismo naturale \(V\to V/W\).
i) Indipendenza lineare: la relazione $a_{m+1}f(v_{m+1})+...+a_nf(v_n)=0$ implica per linearità $f(a_{m+1}v_{m+1}+...+a_nv_n)=0$, ovvero che ...
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