Spazio affine dimensione n vs spazio prodotto cartesiano

[cianfa72]

ciao,

ho un dubbio di carattere generale: consideriamo lo spazio affine di dimensione 4 che denotiamo con $A^4$ e confrontiamolo formalmente con lo spazio prodotto cartesiano $A^1$x$A^3$ dove $A^1$ e $A^3$ sono essi stessi spazi affini di dimensione 1 e 3.

Ovviamente $A^4$ e $A^1$x$A^3$ sono isomorfi ma possiamo concludere che sono formalmente lo stesso spazio ?

Secondo me no: ad es se prendo un punto $x$ in $A^1$x$A^3$ allora esiste formalmente (in modalita' assolutamente indipendente dall'aver fissato un sistema di riferimento affine) la proiezione sul primo e sul secondo fattore mentre nel caso di $A^4$ non e' definita.

Come la vedete ?

[solaàl]

Sì, il punto è "sono isomorfi" rispetto a che struttura? Se dimentichi che sono spazi affini e prendi solamente l'insieme sottostante, lo sono; lo stesso accade se consideri gli spazi vettoriali con cui gli spazi affini sono in biiezione. Tuttavia, non sono isomorfi "come spazi affini", e del resto non è del tutto immediato capire cos'è un "isomorfismo di spazi affini". Prova a scriverlo, e convinciti che non ne esiste uno tra $A^{p+q}$ e $A^p\times A^q$, per $p,q\ge 1$.

[cianfa72]

"solaàl":Tuttavia, non sono isomorfi "come spazi affini", e del resto non è del tutto immediato capire cos'è un "isomorfismo di spazi affini". Prova a scriverlo, e convinciti che non ne esiste uno tra $A^{p+q}$ e $A^p\times A^q$, per $p,q\ge 1$.

Io direi in effetti che possiamo trovare un isomorfismo non canonico/naturale nel senso che e' necessario fissare preventivamente un riferimento affine in entrambi gli spazi.

A quel punto facciamo corrispondere tra loro le origini scelte per i 2 riferimenti ed i vettori degli spazi delle traslazioni quando hanno le stesse componenti nelle basi scelte -- da notare che lo spazio vettoriale delle traslazioni di $A^p\times A^q$ e' quello ottenuto come prodotto diretto tra gli spazi vettoriali delle traslazioni di $A^p$ e $A^q$ -- vedi per es [url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Direct_Product_of_Vector_Spaces]qui[/url]