Coordinate baricentriche generalizzate
Ciaoooo a tutti,
non so se questa è la sezione giusta per questa domanda, spero di sì
ho un problema con una dimostrazione e non so come andare avanti, vi spiego il problema:
Teorema di Steinitz
Sia $X\subset\mathbb{R}^n$ e $p\in\text{int(conv}X)$. Esistono $k\le2n$ punti $x_1,..., x_k\in X$ tali che $p\in\text{int(conv}\{x_1,...,x_k\})$.
E il Lemma:
Sia $P\subset\mathbb{R}^n$ un politopo convesso di vertici $v_1,...,v_k$, allora esistono delle funzioni continue $\phi_i: P\rightarrow\mathbb{R}$ per $i=1,...,k$ tali che $\forall i$ $\phi_i\ge0$, $\sum_{i=1}^k \phi_i=1$ e $x=\sum_{i=1}^k \phi_i(x)v_i$ $\forall x\in P$.
A questo punto vorrei dimostrare che preso $x\in\text{int}P$ posso scegliere le $\phi_i$ in modo che $\phi_i(x)>0$ e qui non so come fare...
Ho pensato che forse potrei rimpiazzare le funzioni $\phi_i$ con $\phi_i+\theta_i$, in cui le $\theta_i$ sono opportune funzioni tali che $\sum_{i=1}^k \theta_i=0$ e si abbia $(\phi_i+\theta_i)(x)>0$ $\forall i=1,...,k$. Questo perchè $\forall x\in P$ esiste $j$ tale che $\phi_j(x)>0$ dato che per ipotesi $\sum_{i=1}^k \phi_i=1$; quindi $\exists\varepsilon>0$ tale che $\phi_j(x)-\varepsilon>0$. Ponendo $\theta_j:=-\varepsilon$ e $\theta_i=\varepsilon/(k-1)$ per $i\ne k$, si ottiene la famiglia di funzioni desiderata.
Ma il discorso non torna perchè dovrei far vedere la nuova combinazione mi da ancora $x$....
Grazie a tutti per la pazienza!
non so se questa è la sezione giusta per questa domanda, spero di sì
ho un problema con una dimostrazione e non so come andare avanti, vi spiego il problema:
Teorema di Steinitz
Sia $X\subset\mathbb{R}^n$ e $p\in\text{int(conv}X)$. Esistono $k\le2n$ punti $x_1,..., x_k\in X$ tali che $p\in\text{int(conv}\{x_1,...,x_k\})$.
E il Lemma:
Sia $P\subset\mathbb{R}^n$ un politopo convesso di vertici $v_1,...,v_k$, allora esistono delle funzioni continue $\phi_i: P\rightarrow\mathbb{R}$ per $i=1,...,k$ tali che $\forall i$ $\phi_i\ge0$, $\sum_{i=1}^k \phi_i=1$ e $x=\sum_{i=1}^k \phi_i(x)v_i$ $\forall x\in P$.
A questo punto vorrei dimostrare che preso $x\in\text{int}P$ posso scegliere le $\phi_i$ in modo che $\phi_i(x)>0$ e qui non so come fare...
Ho pensato che forse potrei rimpiazzare le funzioni $\phi_i$ con $\phi_i+\theta_i$, in cui le $\theta_i$ sono opportune funzioni tali che $\sum_{i=1}^k \theta_i=0$ e si abbia $(\phi_i+\theta_i)(x)>0$ $\forall i=1,...,k$. Questo perchè $\forall x\in P$ esiste $j$ tale che $\phi_j(x)>0$ dato che per ipotesi $\sum_{i=1}^k \phi_i=1$; quindi $\exists\varepsilon>0$ tale che $\phi_j(x)-\varepsilon>0$. Ponendo $\theta_j:=-\varepsilon$ e $\theta_i=\varepsilon/(k-1)$ per $i\ne k$, si ottiene la famiglia di funzioni desiderata.
Ma il discorso non torna perchè dovrei far vedere la nuova combinazione mi da ancora $x$....
Grazie a tutti per la pazienza!
Risposte
Cioè devi mostrare che le coordinate di un punto interno rispetto ad i vertici del politopo sono positive?
"gugo82":
Cioè devi mostrare che le coordinate di un punto interno rispetto ad i vertici del politopo sono positive?
vorrei mostrare che esiste almeno una 'rappresentazione' con coordinate positive, almeno in un intorno di $x$...
non mi serve che siano positive dappertutto...
Penso che le coordinate baricentriche, nel caso del politopo, non siano uniche, o sbaglio?
Hai provato a vedere sullo Schneider?
"gugo82":
Hai provato a vedere sullo Schneider?
Ho guardato sullo Schneider ma non ho trovato niente...
Secondo me il ragionamento iniziale può andare, un volta che so che quelle $\phi_i\ge0$ esistono, vado modificarle in modo che in un intorno del punto $x$ siano positive, avrò:
$$\sum(\phi_i(x)+\theta_i(x)) v_i=\sum\phi_i(x)v_i+\sum\theta_i(x)v_i$$
devo far vedere che questa combinazione mi da ancora $x$, quindi mi basta far vedere che:
$$\sum\theta_i(x)v_i=0$$
ma qui mi blocco
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