Esercizio forme bilineari e quadratiche
Salve a tutti!
Avrei un problema nel determinare la forma canonica per la forma quadratica presente in questo esericizio:
Sia data rispetto alla base canonica la forma quadratica $\Q: RR^2->RR$ definita
da
$\Q(X= (x, y)) = 6xy$.
1. Determinare la forma bilineare $\beta$ associata a $\Q$.
2. Scrivere la matrice di $\Q$ e calcolarne il rango.
3. Determinare una forma canonica di $\Q$ e scriverne la segnatura.
Per determinare la forma canonica il mio professore procede facendo un cambio di variabili, ad esempio se avessi avuto come forma quadratica
$\Q(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+2xz$
Lui avrebbe posto $x^2+y^2+2zx=(x+z)^2+y^2$ e quindi applicando il cambiamento di variabili
$\{(x'=x+z),(y'=y):}$
ottenendo per $\Q$ la forma canonica cercata $\Q(x',y',z')=x'^2+y'^2$ ed in questo caso la segnatura della forma quadratica sarebbe $\(2,2-2)=(2,0)$(potreste spiegarmi perché si fa questo per determinare la segnatura?)
Non so altri metodi per procedere oltre questo quindi non so in che modo devo fare un cambio di variabili nel caso dell'esercizio precedente proposto. Potete darmi una mano? Inoltre come determino questa segnatura?
Vi ringrazio in anticipo!
Avrei un problema nel determinare la forma canonica per la forma quadratica presente in questo esericizio:
Sia data rispetto alla base canonica la forma quadratica $\Q: RR^2->RR$ definita
da
$\Q(X= (x, y)) = 6xy$.
1. Determinare la forma bilineare $\beta$ associata a $\Q$.
2. Scrivere la matrice di $\Q$ e calcolarne il rango.
3. Determinare una forma canonica di $\Q$ e scriverne la segnatura.
Per determinare la forma canonica il mio professore procede facendo un cambio di variabili, ad esempio se avessi avuto come forma quadratica
$\Q(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+2xz$
Lui avrebbe posto $x^2+y^2+2zx=(x+z)^2+y^2$ e quindi applicando il cambiamento di variabili
$\{(x'=x+z),(y'=y):}$
ottenendo per $\Q$ la forma canonica cercata $\Q(x',y',z')=x'^2+y'^2$ ed in questo caso la segnatura della forma quadratica sarebbe $\(2,2-2)=(2,0)$(potreste spiegarmi perché si fa questo per determinare la segnatura?)
Non so altri metodi per procedere oltre questo quindi non so in che modo devo fare un cambio di variabili nel caso dell'esercizio precedente proposto. Potete darmi una mano? Inoltre come determino questa segnatura?
Vi ringrazio in anticipo!
Risposte
La segnatura di una forma è un vettore le cui coordinate sono $(n_+, n_(-), n_0)$, in cui $n_+$ è il numero di autovalori positivi, $n_-$ il numero di quelli negativi (tutti contati con le rispettive molteplicità algebriche) ed $n_0$ è la molteplicità algebrica dell’autovalore nullo.
La matrice simmetrica associata a $Q$ rispetto alla base canonica è $((0, 3),(3,0))$, la quale ha autovalori $lambda =+-3$; quindi la segnatura di $Q$ è $(1,1,0)$.
Per la riduzione a forma canonica, osserva che se sostituisci $\{(x = (x^\prime - y^\prime)/sqrt(6)), (y = (x^\prime + y^\prime)/sqrt(6)):}$ in $Q$ ottieni qualcosa di molto semplice da calcolare.
Per calcolare $beta$ ti basta eseguire i prodotti $(x_1, y_1)*((0,3),(3,0))*((x_2),(y_2))$.
La matrice simmetrica associata a $Q$ rispetto alla base canonica è $((0, 3),(3,0))$, la quale ha autovalori $lambda =+-3$; quindi la segnatura di $Q$ è $(1,1,0)$.
Per la riduzione a forma canonica, osserva che se sostituisci $\{(x = (x^\prime - y^\prime)/sqrt(6)), (y = (x^\prime + y^\prime)/sqrt(6)):}$ in $Q$ ottieni qualcosa di molto semplice da calcolare.
Per calcolare $beta$ ti basta eseguire i prodotti $(x_1, y_1)*((0,3),(3,0))*((x_2),(y_2))$.
Grazie mille! Chiarissimo e gentile!:D
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