Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao a tutti!
Ho un dubbio riguardo il concetto di base... In particolare non ho capito se la condizione di lineare indipendenza di un insieme di vettori è sufficiente a stabilire se questi sono oppure no una base per un certo spazio vettoriale. Inoltre non mi è chiaro come è necessario procedere per verificare che un certo insieme di vettori siano generatori di uno spazio vettoriale. Un insieme di vettori $ { v_1,v_2,...,v_k}sube V $ sono un insieme di generatori per $ V $ se ogni vettore ...
Ciao a tutti,
Sono in crisi con un esercizio di algebra lineare di cui posto direttamente l'immagine:
Io stavo svolgendo l'esercizio in questo modo:
Se $ v $ e $ w $ appartengono al nucleo devono essere uguali al vettore nullo e sfruttando la linearità della funzione dovrei poter scrivere
$ F(v) = F(e_1) - F(e_4) $ e $ F(w) = F(e_3) + F(e_4) $ , ma secondo il mio ragionamento, per $ v $ mi viene da dire che $ F(e_1) = F(e_4) $ e non $ F(e_1) = -F(e_4) $ come ...
Salve a tutti,non riesco a capire la dimostrazione,o forse mi sembra non venga addirittura spiegata,del fatto che le forme lineari che costituiscono una base duale di uno spazio vettoriale duale devono soddisfare la condizione per cui la dualità canonica tra due elementi appartenenti rispettivamente alla base duale e ad un normale spazio vettoriale V,debba valere il cosidetto delta di Kronecker. Grazie
Buonasera a tutti,
Ho due questioni da sottoporvi. Penso siano estremamente banali ma io non riesco a venirne a capo.
Durante un quiz per la preparazione dell'esame su matlab, mi sono imbattuto nelle seguenti domande.
Ho cercato in vari modi di arrivare ad una delle soluzioni proposte nel quiz ma non ci sono riuscito. Allora, disperato, ho pensato di condividere con voi questi miei problemi.
1)
Siano H la matrice di Hilbert di ordine 10 (comando hilb), I la matrice identità e A=H+0.001I. Sia ...
buongiorno, dopo aver fatto l'algoritmo di eliminazione di Gauss non ho ben capito, soprattutto a livello pratico, come calcolare la fattorizzazione $A=LU$ e $PA=LU$ con pivoting a partire dalla matrice $A$ e quando vada applicato uno o l'altro metodo e/o quali condizioni vadano rispettate nel momento dell'applicazione dei due metodi.
Sperando di non dire cavolate, data la matrice $A$ mi pare di aver compreso che per il caso $A=LU$ la ...
Ciao,
ho tre matrici di ordine generico n e si vuole dimostrare l'ortogonalità degli autovettori di $[A]$ rispetto $[M]$ e $[K]$ considerando che:
$[A]=[M]^-1[K]$
$[M]$ e $[K]$ sono entrambe matrici simmetriche
La domanda mi è stata posta così, spero non sia ambigua.
Grazie in anticipo
Mi si chiede di trovare una presentazione del gruppo dei quaternioni \( \mathbf{Q}_8 \) e di disegnare il grafo di Cayley.
Le soluzioni mi dicono che prendono in considerazione la presentazione
\[ \left< \ell, i ,j ,k | \ell^2,i^2\ell,j^2\ell,k^2\ell, ijk\ell \right> \]
e non capisco come la trovi. Con questa presentazione io ho disegnato il seguente grafo di Cayley ma non so se è giusto. Siccome ci sono 4 generatori abbiamo 4 colori. Nella foto il rosso rappresenta moltiplicare a destra per ...
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Studente Anonimo
26 apr 2020, 15:26
Devo discutere la diagonalizzabilità delle seguenti matrici:
$M = ((0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0))$, $N = ((1, -2, -2), (0, 1, -2), (0, 0, 1))$, $P = 1/3 ((1, -2, -2), (-2, 1, -2), (-2, -2, 1))$.
M) Per quanto riguarda $M$ ho visto essere una matrice di rotazione con $3$ autovalori complessi che sono le radici cubiche dell'unità, ma $1$ solo autovalore reale. Ne consegue che $M$ è diagonalizzabile sui complessi ma non sui reali.
N) Per la $N$ ho trovato che $\lambda = 1$ è un autovalore con ...
Ciao a tutti,
Mi ritrovo incagliato su questo esercizio senza neanche saper da dove partire. Avreste qualche suggerimento utile per darmi un la?
Il testo enuncia:
Si consideri $RR$ dotato della topologia euclidea e sia $ X $ lo spazio ottenuto identificando l’intervallo
aperto $ (0, 1) $ a un punto. Stabilire se $ X $ e' di Hausdorff.
Grazie mille a tutti
Salve, ho il seguente esercizio
Sia $S(t): R^4 → R^3$
l’applicazione definita per ogni $t ∈ R$ da $T$
$T(((x1),(x2),(x3),(x4)))=((x1-x2+x3+x4),(x1+2x2-x3),(3x1+x3+tx4))$
(a) Per ogni $t ∈ R$ determinare la matrice $A(t)$ tale che $St(x) = At(x)$ per ogni $x ∈ R^4$.
(b) Per ogni $t ∈ R$ calcolare rg(St), dim(Ker(St)) e trovare basi per Ker(St) e Im(St).
Non ho la minima idea di come risolverlo e sopratutto non mi è chiara la dicitura: $St(x) = At(x)$
Un aiuto sarebbe gradito.
Sia $A$ una matrice complessa di dimensione $n \times n$. Se $A^4$ ha un autovalore $mu$, segue che $A$ ha un autovalore $lambda$ tale che $lambda^4=mu$?
Nei reali mi sembra che ciò sarebbe chiaramente falso. Penso ad esempio alla matrice $A = ((0, 1), (-1, 0))$, il cui polinomio caratteristico è $lambda^2 +1$, che non ammette radici reali. Invece $A^4 = I$, che certamente ammette l'autovalore reale ...
Salve a tutti,studiando algebra lineare mi sono imbattuto in una questione spinosa da cui non riesco venirne a capo.
Allora il testo dice:"il gruppo lineare speciale è il nucleo dell'omomorfismo che associa ad una applicazione lineare il suo determinante ed è definito tale che il determinante di codesta applicazione lineare=1.
Ora però ricordo che il nucleo di un'applicazione lineare è quell'elemento tale per cui la sua immagine valga 0 e non 1.Qualcuno sa darmi una spiegazione?Grazie mille ...
Considero la sfera $S^2$ in $RR^3$, con l'usuale prodotto scalare standard di $RR^3$.
Voglio calcolare il tensore di curvatura R.
La connessione di Levi-Civita di $RR^3$ con l'usuale prodotto scalare standard è la connessione piatta, cioè quella i cui simboli di Christoffel sono tutti nulli.
Allora anche i coefficienti del tensore di curvatura devono essere tutti nulli, visto che dipendono dai simboli di Christoffel e dalle loro derivate parziali, ...
Come da titolo, vorrei dimostrare che le orbite dell'azione del gruppo $GL(V)$ degli automorfismi di uno spazio vettoriale non nullo $V$ sono $\{0\}$ e $V-\{0\}$.
$\{0\}$ è un'orbita perché ogni automorfismo di $V$ fissa lo 0.
Per quanto riguarda $V-\{0\}$, vorrei imitare il caso $\dim V$ finita.
Prendo $u,v\ne0$ e completo $\{u\}$ e $\{v\}$ a due basi $(u_{i})_{i\in I}$, ...
Ciao a tutti!
Come faccio a stabilire se questa curva è piana? $\alpha (t)= (e^t cos(t),e^t sin(t), e^t)$
Il procedimento generale lo so fare (sostituirlo in un piano generico ecc ecc) ma non lo riesco ad applicare a questa curva.
Quello che voglio fare in realtà è trovare la torsione ma non riesco a farlo e pensavo che potesse essere 0 e per dimostrarlo volevo trovare il piano che contenesse la curva.
ho anche trovato una riparametrizzazione della curva tale che abbia velocità ...
Buongiorno, vorrei discutere alcuni aspetti del seguente teorema:
Enunciato:
Considerati due spazi vettoriali $V_n(K)\,\V_m(K)$ di dimensione $n,m$ rispettivamente.
Sia $R=(e_1\,\e_2\,\...\,\e_n)$ riferimento di $V_n$ e $W={w_1\,\w_2\,\...\,\w_n}$ sistema di ordine $n$ di $V_m$.
Esiste un'unica applicazione lineare $f:V_n\to\V_m$ ponendo $f(e_i)=w_i$ per ogni $i=1\,\2\,\...\,\n.$
Dimostrazione:
La dimostrazione è divisa in più parti: determinazione della ...
Ragazzi, non riesco a capire una cosa. Ho il seguente sistema ${ ( 0.5x+2y+w+s_1=24 ),( x+2y+4w+s_2=60 ):}$. Il testo dice che ricorrendo ad un programma risolutore si dimostra che la soluzione ottima del problema che massimizza la funzione $z=6x+14y+13w$ è costituita dalla soluzione di base $(x,y,w,s_1,s_2)=(36,0,6,0,0)$.
Ora, io so che il sistema ammette $\infty^(5-2)$ soluzioni, quindi se eliminassi i tre gradi di libertà in eccesso associati alle variabili $y,s_1,s_2$ otterrei un sistema lineare quadrato che ammette ...
Sia $f:V->U$ lineare e $W="Ker"(f)$. Dimostrare che l'applicazione \(\mathbf{f} : V/W \to U\), definita ponendo $mathbf(f)([v])=f(v)$ è lineare, ben definita, e iniettiva.
come si fa a dimostrare queste cose con le classi?
Testo dell'esercizio:
Sullo spazio proiettivo $\mathbb{P}^(n)(\mathbb{R})$ consideriamo la topologia quoziente della topologia euclidea su $\mathbb{R}^(n+1)$\ ${0}$ modulo la relazione di proporzionalità.
(a) Mostrare che l’inclusione $j_0 : \mathbb{R}^(n) → \mathbb{P}^(n)(\mathbb{R})$ con
$(x_1, . . . , x_n) → [1, x_1, . . . , x_n]$
è una compattificazione di $\mathbb{R}^n$ (cioè l’applicazione $j_0$ è un omemorfismo sulla sua immagine $j_0(\mathbb{R}^n)$, $\mathbb{P}^(n)(\mathbb{R})$ è compatto e $j_0(\mathbb{R}^n)$ è denso in ...
Ciao
La definizione di spazio prodotto topologico che è stata data a lezione è:
(Defizinione | I forma) dati due spazi topologici \(X\) e \(Y\), la lo spazio prodotto è il prodotto cartesiano \(X \times Y\) con la topologia meno fine tra quelle su \(A \times B\) per cui sono continue le funzioni, proiezioni,
[tex]\xymatrix{
& X \times Y \ar[dl]_{p_X} \ar[dr]^{p_Y} & \\
X & & Y
}[/tex]
così definite: \(p_X(x, \_) = x\) e \(p_Y(\_, y) = y\). Chiamo ...
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