Dimostrazione su sistema triangolare e elementi diagonale principale

[vanpic]

Salve, ho un sistema lineare quadrato triangolare superiore, del tipo $Ax=b$, che ammette soluzione unica $(v_1,...,v_n)$ e come esercizio (di cui non ho lo svolgimento) devo dimostrare, usando la dimostrazione per assurdo, che tutti gli elementi della diagonale principale sono diversi da zero.

Quindi, per assurdo suppongo che sulla diagonale principale ci sia almeno un elemento uguale a zero. Considero $k$ come il minimo indice per cui $a_(k,k)=0$, per cui $a_(1,1) ,..., a_(k-1,k-1)!=0$.
Sostituisco i $v_(k+1) ,..., v_n$ nella k-esima equazione, ottenendo:

$0 x_k + a_(k,k+1) v_(k+1) +...+a_(k,n) v_n = b_k$

Che risulta verificata per ogni valore di $x_k$ in particolare per un valore $w_k != v_k$.
In conclusione ho trovato due soluzioni distinte del sistema: $(v_1,...,v_k,...,v_n)$ e $(v_1,...,w_k,...,v_n)$
in contrasto con l'ipotesi che il sistema ammette soluzione unica, quindi tutti gli elementi della diagonale principale sono diversi da zero.

Può andar bene ? Grazie

[marco2132k]

Non amo molto queste cose, quindi aspetta anche il parere di qualcun altro.

Secondo me non va benissimo: come fai a dire che \( (v_1,\dots,w_k,\dots,v_n) \) è soluzione del sistema? Immagina un sistema \( 4\times 4 \), e fai che \( k = 2 \): come fai a essere sicuro che \( a_{11}v_1 + \dots + a_{1k}w_k + \dots + a_nv_n = b_1 \)?

Secondo la cosa vale solo se la matrice è in rref, con tutti gli elementi della diagonale che dovrebbero essere pivot.

[gugo82]

Il determinante di una matrice triangolare (superiore o inferiore) è il prodotto degli elementi diagonali.
Questo più Cramer ed hai finito.