Piano proiettivo
Avrei una domanda, ho l'esame a breve, e non capisco come mai questi tre ragionamenti che mi sembrano corretti tutti e tre mi portano a conclusioni differenti. Il ragionamento 3 penso sia errato gli altri penso siano corretti.
Allora volevo calcolarmi il gruppo fondamentale del piano proiettivo meno un punto \(X= \mathbb{R}P^2 \setminus \{ x \} \).
Ragionamento uno: Seifert Van Kampen
Prendo la presentazione poligonale del quadrato \(I^2/\sim \), dove i lati sono partendo dal vertice in basso a destra e percorrendo il bordo del quadrato in senso orario è identificato alla parola: \(abab \). Come primo aperto \( A = X \setminus \{ y \}\), dove \( y \in X \), come secondo aperto \( B = \mathcal{B}(y, \epsilon ) \not\ni x \), una piccola palla attorno ad \( y \) che non contiene il buco in \( \mathbb{R}P^2 \).
Abbiamo che l'intersezione \( A \cap B = B \setminus \{ y \} \). Ora abbiamo chiaramente che \( B \) è contrattile quindi \( \pi_1 B = \mathbf{1} \). \(A \) invece è omotopo a un wedge di 2 cerchi ovver \( A \simeq S^1 \vee S^1 \). Inoltre \( A \cap B \simeq S^1 \). Pertanto abbiamo \( \pi_1 A = F(2) \) e \( \pi_1 ( A \cap ) = F(1) \).
Dunque per Seifert van Kampen, siccome tutti i nostri aperti sono connessi per archi abbiamo che
\[ \pi_1 X \cong \pi_1 A \ast_{\pi_1 (A \cap B)} \pi_1 B = F(2) \ast_{F(1)} \mathbf{1} = F(1) \cong \mathbb{Z} \]
Ragionamento due:
Prendo la presentazione poligonale per \( \mathbb{R}P^2 \) del disco, ovvero due intervalli \( I' \) e \(I\) dove identifico \( 0' \sim 1 \) e \( 1' \sim 0 \) e ci attacco una due cellula all interno, dunque ottengo la che il bordo del disco è identificato alla parola \(a^2 \). Abbiamo il seguente pushout (Non riesco a fare il pushout in LaTeX non so perché, mi dice "unparseable or potentially dangerous latex formula")
Il pushout del piano proiettivo è
e poiché nel quoziente \( e^1 \cup_{\sim} e^1 = S^1 \) abbiamo che il suo gruppo fondamentale è
\[ \pi_1 \mathbb{R}P^2 \cong F(1)/ \left< abab \right> \cong F(x)/ \left< x^2 \right> \cong \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} \]
Mentre il pushout di \(X\) è
e pertanto ovvero \( S^1 \approx D^2 \setminus \{x\} \xleftarrow{} \partial X \approx S^1 \xrightarrow{f} e^1 \cup_{\sim} e^1 \simeq S^1 \) e dunque il pushout è \( e^1 \cup_{\sim} e^1 \cup_f S^1 = S^1 \cup_{S^1} S^1=S^1\) e
\[ \pi_1 X \cong \pi_1 ( S^1 ) \cong \mathbb{Z} \]
Ragionamento 3: Sempre con il pushout ma uso quella del quadrato di prima. Ora il fatto è che negli appunti del corso c'è scritto che la struttura cellulare del piano proiettivo \( \mathbb{R}P^2 \) è \( S^1 \vee S^1 \cup_f e^2 \) ma secondo me è sbagliato.... perché se fosse il caso otterrei un pushout differente per il gruppo fondamentale.
e pertanto ovvero \( S^1 \approx D^2 \setminus \{x\} \xleftarrow{} \partial X \approx S^1 \xrightarrow{f} S^1 \vee S^1 \) e dunque il pushout è \( S^1 \vee S^1 \vee S^1 \) e il gruppo fondamentale mi esce
\[ \pi_1 X \cong \pi_1 ( S^1 \vee S^1 \vee S^1 ) = F(3) \]
Allora volevo calcolarmi il gruppo fondamentale del piano proiettivo meno un punto \(X= \mathbb{R}P^2 \setminus \{ x \} \).
Ragionamento uno: Seifert Van Kampen
Prendo la presentazione poligonale del quadrato \(I^2/\sim \), dove i lati sono partendo dal vertice in basso a destra e percorrendo il bordo del quadrato in senso orario è identificato alla parola: \(abab \). Come primo aperto \( A = X \setminus \{ y \}\), dove \( y \in X \), come secondo aperto \( B = \mathcal{B}(y, \epsilon ) \not\ni x \), una piccola palla attorno ad \( y \) che non contiene il buco in \( \mathbb{R}P^2 \).
Abbiamo che l'intersezione \( A \cap B = B \setminus \{ y \} \). Ora abbiamo chiaramente che \( B \) è contrattile quindi \( \pi_1 B = \mathbf{1} \). \(A \) invece è omotopo a un wedge di 2 cerchi ovver \( A \simeq S^1 \vee S^1 \). Inoltre \( A \cap B \simeq S^1 \). Pertanto abbiamo \( \pi_1 A = F(2) \) e \( \pi_1 ( A \cap ) = F(1) \).
Dunque per Seifert van Kampen, siccome tutti i nostri aperti sono connessi per archi abbiamo che
\[ \pi_1 X \cong \pi_1 A \ast_{\pi_1 (A \cap B)} \pi_1 B = F(2) \ast_{F(1)} \mathbf{1} = F(1) \cong \mathbb{Z} \]
Ragionamento due:
Prendo la presentazione poligonale per \( \mathbb{R}P^2 \) del disco, ovvero due intervalli \( I' \) e \(I\) dove identifico \( 0' \sim 1 \) e \( 1' \sim 0 \) e ci attacco una due cellula all interno, dunque ottengo la che il bordo del disco è identificato alla parola \(a^2 \). Abbiamo il seguente pushout (Non riesco a fare il pushout in LaTeX non so perché, mi dice "unparseable or potentially dangerous latex formula")
Il pushout del piano proiettivo è
[tex]\xymatrix{ \partial \mathbb{R}P^1 \ar[r]^{f} \ar[d] & e^1 \cup_{\sim} e^1\ar[d] &\\ D^2 \ar[r]& e^1 \cup_{\sim} e^1 \cup_f e^2 & }[/tex]
e poiché nel quoziente \( e^1 \cup_{\sim} e^1 = S^1 \) abbiamo che il suo gruppo fondamentale è
\[ \pi_1 \mathbb{R}P^2 \cong F(1)/ \left< abab \right> \cong F(x)/ \left< x^2 \right> \cong \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} \]
Mentre il pushout di \(X\) è
[tex]\xymatrix{ \partial X \ar[r]^{f} \ar[d] & e^1 \cup_{\sim} e^1\ar[d] &\\ D^2 \setminus \{x\} \ar[r]& e^1 \cup_{\sim} e^1 \cup_f S^1 & }[/tex]
e pertanto ovvero \( S^1 \approx D^2 \setminus \{x\} \xleftarrow{} \partial X \approx S^1 \xrightarrow{f} e^1 \cup_{\sim} e^1 \simeq S^1 \) e dunque il pushout è \( e^1 \cup_{\sim} e^1 \cup_f S^1 = S^1 \cup_{S^1} S^1=S^1\) e
\[ \pi_1 X \cong \pi_1 ( S^1 ) \cong \mathbb{Z} \]
Ragionamento 3: Sempre con il pushout ma uso quella del quadrato di prima. Ora il fatto è che negli appunti del corso c'è scritto che la struttura cellulare del piano proiettivo \( \mathbb{R}P^2 \) è \( S^1 \vee S^1 \cup_f e^2 \) ma secondo me è sbagliato.... perché se fosse il caso otterrei un pushout differente per il gruppo fondamentale.
[tex]\xymatrix{ \partial X \ar[r]^{f} \ar[d] & S^1 \vee S^1 \ar[d] &\\ D^2 \setminus \{x\} \ar[r]& S^1 \vee S^1 \vee S^1 & }[/tex]
e pertanto ovvero \( S^1 \approx D^2 \setminus \{x\} \xleftarrow{} \partial X \approx S^1 \xrightarrow{f} S^1 \vee S^1 \) e dunque il pushout è \( S^1 \vee S^1 \vee S^1 \) e il gruppo fondamentale mi esce
\[ \pi_1 X \cong \pi_1 ( S^1 \vee S^1 \vee S^1 ) = F(3) \]
Risposte
Nel primo ragionamento ho un dubbio sull'equivalenza omotopica di \(A\) col wedge di due circonferenze...
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