Dimensione matrice
Salve,vedendo il mio prof di algebra lineare svolgere un esercizio mi è venuto un dubbio atroce.Ma quando consideriamo una matrice che identica uno spazio di applicazioni lineari,piuttosto che considerarla come matrice associata ad un'applicazione lineare,cambia la sua dimensione?Almeno così pare a quanto ho visto
Risposte
Caso mai, detto in soldoni, una matrice identifica (univocamente) un'applicazione lineare di spazi vettoriali: basta fissare delle basi nel dominio e nel codominio.
Poi che intendi per dimensione di una matrice?
Poi che intendi per dimensione di una matrice?
"j18eos":
Caso mai, detto in soldoni, una matrice identifica (univocamente) un'applicazione lineare di spazi vettoriali: basta fissare delle basi nel dominio e nel codominio.
Poi che intendi per dimensione di una matrice?
Ad esempio,una matrice 5x5 che identifica lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari Hom(V,V)il mio prof la considera di dimensione 25,ma di solito la dimensione non dovrebbe essere uguale al numero di element idi una base,e quindi in questo caso minore o uguale a 5?? Proprio non capisco
Stai confondendo lo spazio vettoriale delle matrici Hom(V,V) (che ha dimensione 25) con il rango di una singola matrice che appartiene a tale spazio.
"Bokonon":
Stai confondendo lo spazio vettoriale delle matrici Hom(V,V) (che ha dimensione 25) con il rango di una singola matrice che appartiene a tale spazio.
ok ma per identificare tale spazio 5x5 delle matrici Hom(V,V),utilizzo sempre una singola matrice
una matrice che identica uno spazio di applicazioni lineariTi devi spiegare meglio mi sa.
Vuoi calcolare la dimensione di \(\hom(V,W)\)?
Vuoi calcolare la matrice di un’applicazione lineare \(\hom(U,V)\to U\)?
"marco2132k":una matrice che identica uno spazio di applicazioni lineariTi devi spiegare meglio mi sa.
Vuoi calcolare la dimensione di \(\hom(V,W)\)?
Vuoi calcolare la matrice di un’applicazione lineare \(\hom(U,V)\to U\)?
dimensione di Hom(V,V)
Per ogni coppia di \( K \)-spazi \( V \) e \( W \) di dimensione rispettivamente \( n \) ed \( m \) hai che lo spazio \( \mathrm M_{m\times n}(K) \) delle matrici \( m\times \)... vabbé sai cos'è, è isomorfo a \( \hom_K(V,W) \): fissate le basi \( \mathcal V \) e \( \mathcal W \) di questi ragazzi, l'applicazione
\[
\begin{aligned}
\hom_K(V,W)&\to\mathrm M_{m\times n}(K)\\
\phi &\mapsto\alpha_{\mathcal V\mathcal W}(\phi)
\end{aligned}
\] che assegna a un'applicazione lineare \( \phi\colon V\to W \) la sua matrice rispetto a quelle basi è un isomorfismo di spazi vettoriali.
Due spazi isomorfi hanno la stessa dimensione.
Quindi la dimensione di \( \hom_{K}(V,W) \) è \( mn \), ché le matrici \( \epsilon(i,j) = (\delta_{ik}\delta_{jl})_{\substack{1\leqq k\leqq m\\1\leqq l\leqq n}} \) sono una base di questo spazio.
P.s. Le matrici \( \epsilon(i,j) \) sono quelle che hanno \( 1 \) in \( (i,j) \) e \( 0 \) altrove - la \( \delta \) è la delta di Kronecker.
P.p.s. Una matrice quadrata identifica un endomorfismo, non lo spazio degli endomorfismi.
\[
\begin{aligned}
\hom_K(V,W)&\to\mathrm M_{m\times n}(K)\\
\phi &\mapsto\alpha_{\mathcal V\mathcal W}(\phi)
\end{aligned}
\] che assegna a un'applicazione lineare \( \phi\colon V\to W \) la sua matrice rispetto a quelle basi è un isomorfismo di spazi vettoriali.
Due spazi isomorfi hanno la stessa dimensione.
Quindi la dimensione di \( \hom_{K}(V,W) \) è \( mn \), ché le matrici \( \epsilon(i,j) = (\delta_{ik}\delta_{jl})_{\substack{1\leqq k\leqq m\\1\leqq l\leqq n}} \) sono una base di questo spazio.
P.s. Le matrici \( \epsilon(i,j) \) sono quelle che hanno \( 1 \) in \( (i,j) \) e \( 0 \) altrove - la \( \delta \) è la delta di Kronecker.
P.p.s. Una matrice quadrata identifica un endomorfismo, non lo spazio degli endomorfismi.
"marco2132k":
Per ogni coppia di \( K \)-spazi \( V \) e \( W \) di dimensione rispettivamente \( n \) ed \( m \) hai che lo spazio \( \mathrm M_{m\times n}(K) \) delle matrici \( m\times \)... vabbé sai cos'è, è isomorfo a \( \hom_K(V,W) \): fissate le basi \( \mathcal V \) e \( \mathcal W \) di questi ragazzi, l'applicazione
\[
\begin{aligned}
\hom_K(V,W)&\to\mathrm M_{m\times n}(K)\\
\phi &\mapsto\alpha_{\mathcal V\mathcal W}(\phi)
\end{aligned}
\] che assegna a un'applicazione lineare \( \phi\colon V\to W \) la sua matrice rispetto a quelle basi è un isomorfismo di spazi vettoriali.
Due spazi isomorfi hanno la stessa dimensione.
Quindi la dimensione di \( \hom_{K}(V,W) \) è \( mn \), ché le matrici \( \epsilon(i,j) = (\delta_{ik}\delta_{jl})_{\substack{1\leqq k\leqq m\\1\leqq l\leqq n}} \) sono una base di questo spazio.
P.s. Le matrici \( \epsilon(i,j) \) sono quelle che hanno \( 1 \) in \( (i,j) \) e \( 0 \) altrove - la \( \delta \) è la delta di Kroneker.
P.p.s. Una matrice quadrata identifica un endomorfismo, non lo spazio degli endomorfismi.
Grazie mille
capito tutto,apparte l'ultimo P.p.s:cosa vuoi dire con quest'ultima frase?Ti riferisci alla matrice 5x5?
Prendi uno spazio \( V \), con una base (ordinata) \( \mathcal V = \{v_1,v_2\} \) di due vettori. Ad una matrice \( 2\times 2 \) come \(
A = \left(
\begin{smallmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{smallmatrix}
\right)
\) è associato l'endomorfismo \( \phi \) che mappa \( \phi(v) = \phi(x_1v_1 + x_2v_2) = x_1v_1 - x_2v_2 \). In genere \( V \) ha molti altri endomorfismi, e questi saranno dati da altre matrici, perché la corrispondenza tra applicazioni lineari e matrici è uno-a-uno, come ti ho detto.
A = \left(
\begin{smallmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{smallmatrix}
\right)
\) è associato l'endomorfismo \( \phi \) che mappa \( \phi(v) = \phi(x_1v_1 + x_2v_2) = x_1v_1 - x_2v_2 \). In genere \( V \) ha molti altri endomorfismi, e questi saranno dati da altre matrici, perché la corrispondenza tra applicazioni lineari e matrici è uno-a-uno, come ti ho detto.
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