Determinare un isomorfismo
Salve a tutti! Ho bisogno nuovamente del vostro aiuto sullo svolgimento di una richiesta di un esercizio:
Si consideri nello spazio vettoriale $\RR^4$
il sottospazio vettoriale $\U$ generato dai
vettori $\u = (1, 1, 0, 1), v = (−1, 0, 0, −1)$ e$\w = (0, 2, 0, 0)$.
Sia $\V$ il sottospazio
vettoriale di equazione:
$\{(x+t=0),(y+t=0):}$
1. Stabilire se i vettori $\u, v$ e $\w$ sono linearmente indipendenti.
2. Calcolare la dimensione di $\U$ e $\V$ e trovarne una base.
3. Detta $\k$ la dimensione di $\V$ , definire un isomorfismo di $\V$ in $\RR^k$
4. Verificare che la somma di $\U$ e $\V$ é diretta e calcolare $\U ⊕ V$.
Tra questi non riesco a svolgere il punto 3, non ho idea di come determinare questo isomorfismo. Scusatemi per il disturbo e vi ringrazio in anticipo!
Si consideri nello spazio vettoriale $\RR^4$
il sottospazio vettoriale $\U$ generato dai
vettori $\u = (1, 1, 0, 1), v = (−1, 0, 0, −1)$ e$\w = (0, 2, 0, 0)$.
Sia $\V$ il sottospazio
vettoriale di equazione:
$\{(x+t=0),(y+t=0):}$
1. Stabilire se i vettori $\u, v$ e $\w$ sono linearmente indipendenti.
2. Calcolare la dimensione di $\U$ e $\V$ e trovarne una base.
3. Detta $\k$ la dimensione di $\V$ , definire un isomorfismo di $\V$ in $\RR^k$
4. Verificare che la somma di $\U$ e $\V$ é diretta e calcolare $\U ⊕ V$.
Tra questi non riesco a svolgere il punto 3, non ho idea di come determinare questo isomorfismo. Scusatemi per il disturbo e vi ringrazio in anticipo!
Risposte
Il punto 3 è quello più banale.
Se conosci una base di $V$, e la conosci, basta passare alle coordinate.
Se conosci una base di $V$, e la conosci, basta passare alle coordinate.
Non ho capito molto bene 
Come faccio a passare alle coordinate?scusatemi per il disturbo 
Come faccio a passare alle coordinate?scusatemi per il disturbo
C’è un teorema che è fondamentale:
Usalo.
Se $mathbb(V)$ è uno spazio vettoriale su campo $mathbb(K)$ di dimensione $k$ e $B sube mathbb(V)$ è una base, l’applicazione $c_B: mathbb(V) -> mathbb(K)^k$ (che ad ogni vettore di $mathbb(V)$ associa le sue coordinate rispetto alla base $B$) è un isomorfismo.
Usalo.
Perfetto! Infatti ho ricordato questo teorema e lei mi ha dato la conferma che è quello giusto! Il problema è che lo conosco solo teoricamente e non riesco ad utilizzarlo in un esercizio.
Mi sono ricavata una base per V e credo sia questa
$\B(V)={(-1,-1,0,1),(0,0,1,0)}$(è corretta?)
Considerando il teorema ottengo:
$\F(x(-1,-1,0,1)+y(0,0,1,0))=(x,y)$
È giusto fare così o ho scritto qualcosa di senza senso?
Vorrei chiedere un'ultima cosa e poi non vi disturbo più l'ultima domanda chiede di calcolare calcolare $\U ⊕ V$ ma non ho capito molto cosa intende...cosa posso fare per calcolarmelo?
Vi ringrazio per le risposte e mi scuso ancora per disturbo!
Mi sono ricavata una base per V e credo sia questa
$\B(V)={(-1,-1,0,1),(0,0,1,0)}$(è corretta?)
Considerando il teorema ottengo:
$\F(x(-1,-1,0,1)+y(0,0,1,0))=(x,y)$
È giusto fare così o ho scritto qualcosa di senza senso?
Vorrei chiedere un'ultima cosa e poi non vi disturbo più
l'ultima domanda chiede di calcolare calcolare $\U ⊕ V$ ma non ho capito molto cosa intende...cosa posso fare per calcolarmelo?Vi ringrazio per le risposte e mi scuso ancora per disturbo!
"maria372":
Vorrei chiedere un'ultima cosa e poi non vi disturbo più
Usa la formula di Grassman: $dim(U+V)=dim(U)+dim(V)-dim(UnnV)$
Se la dimensione dell'intersezione è zero, allora i due spazi vettoriali sono in somma diretta.
Quindi se utilizzando Grassman trovo che la somma è diretta, ho finito? Non devo fare nient'altro?
Mentre per il terzo punto, è corretto quello che ho scritto oppure ho scritto una sciocchezza? 
"maria372":
Perfetto! Infatti ho ricordato questo teorema e lei mi ha dato la conferma che è quello giusto! Il problema è che lo conosco solo teoricamente e non riesco ad utilizzarlo in un esercizio.
Mi sono ricavata una base per V e credo sia questa
$\B(V)={(-1,-1,0,1),(0,0,1,0)}$(è corretta?)
Considerando il teorema ottengo:
$\F(x(-1,-1,0,1)+y(0,0,1,0))=(x,y)$
È giusto fare così o ho scritto qualcosa di senza senso?
Tutto giusto.
Cosa vuol dire calcolare \(U\oplus W\)?L’[inline]\oplus[/inline], per come lo sta intendendo l’estensore del tuo esercizio, ha senso solo di fronte all’uguale (\(V=U\oplus W\)), e significa “ogni vettore di \(V\) è somma \(w+u\) per qualche \(w\in W\) e \(u\in U\), e in più è \(U\cap W = 0 \)”.
In realtà, puoi definire la somma diretta esterna (corsivo, sono da cellulare ed è fatica...) \(U\oplus^{\mathrm{ext}}W\) come il prodotto \(U\times W\) dei tuoi sottospazi, visti come spazi vettoriali. Allora, se V è loro somma diretta “interna” (i.e., vale quello che ho scritto su), è \(V\cong U\oplus^{\mathrm{ext}}W\).
Questo è più figo da vedere quando hai a che fare con tanti (sotto)spazi, ma credo che tu possa ignorare la cosa ora.
Grazie per la vostra disponibilità e per il vostro aiuto!
Tuttavia il mio professore non ha mai menzionato la somma diretta esterna ed interna quindi non ho capito molto questa spiegazione
Tuttavia il mio professore non ha mai menzionato la somma diretta esterna ed interna quindi non ho capito molto questa spiegazione
"marco2132k":Cosa vuol dire calcolare \( U\oplus W \)?L’[inline]\oplus[/inline], per come lo sta intendendo l’estensore del tuo esercizio, ha senso solo di fronte all’uguale (\( V=U\oplus W \)), e significa “ogni vettore di \( V \) è somma \( w+u \) per qualche \( w\in W \) e \( u\in U \), e in più è \( U\cap W = 0 \)”.
In realtà, puoi definire la somma diretta esterna (corsivo, sono da cellulare ed è fatica...) \( U\oplus^{\mathrm{ext}}W \) come il prodotto \( U\times W \) dei tuoi sottospazi, visti come spazi vettoriali. Allora, se V è loro somma diretta “interna” (i.e., vale quello che ho scritto su), è \( V\cong U\oplus^{\mathrm{ext}}W \).
Questo è più figo da vedere quando hai a che fare con tanti (sotto)spazi, ma credo che tu possa ignorare la cosa ora.
Ma non importa. Il punto è che (nelle notazioni del tuo esercizio) "calcolare \( U\oplus V \)" non significa nulla di per se, e magari è questo che ti ha fatto confusione. Molto molto probabilmente il tuo prof. intendeva una cosa tipo "poni \( L = U + V = \left\{u + w : \text{$ u\in U $ e $ w\in W $}\right\} \), trova una base per il sottospazio \( L\subset\mathbb R^4 \), e infine dì se \( L = U\oplus W \)".
Grazie mille! Adesso mi è chiara la richiesta dell'esercizio 
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