Formula coseno vettori

[Oo.Stud.ssa.oO]

Dati due vettori v e w, u è il vettore differenza (v-w); \(\displaystyle \theta \) è l'angolo convesso compreso tra i due vettori.
Partendo da questa : \(\displaystyle |u|² = (|w|sin\theta)² +( |v|-|w|cos\theta)² \)
come arrivo alla formula finale?
\(\displaystyle cos\theta= (v*w)/(|v|*|w|) \)
???

Altra domanda: perchè (con gli stessi vettori v e w dell'esempio precedente)
\(\displaystyle |v|²*|w|²*(1-cos² \theta ) \) è uguale a \(\displaystyle |v|² |w|² - (v*w)² \)
???

[Quinzio]

"Oo.tania":Dati due vettori v e w, u è il vettore differenza (v-w); \(\displaystyle \theta \) è l'angolo convesso compreso tra i due vettori.
Partendo da questa : \(\displaystyle |u|² = (|w|sin\theta)² +( |v|-|w|cos\theta)² \)
come arrivo alla formula finale?
\(\displaystyle cos\theta= (v*w)/(|v|*|w|) \)
???

E' sufficiente svolgere un po' di passaggi.
$ ||u||^2 = (||w||sin\theta)^2 +( ||v||-||w||cos\theta)^2$

$ ||v-w||^2 = (||w||sin\theta)^2 +||v||^2 - 2||v||||w||cos\theta + ||w||cos^2\theta$

$ ||v||^2+||w||^2 -2vw = ||w||^2 +||v||^2 - 2||v||||w||cos\theta$

$ -2vw = - 2||v||||w||cos\theta$

$ (vw)/(||v||||w||) =cos\theta$

Altra domanda: perchè (con gli stessi vettori v e w dell'esempio precedente)
\(\displaystyle |v|²*|w|²*(1-cos² \theta ) \) è uguale a \(\displaystyle |v|² |w|² - (v*w)² \)
???