Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buongiorno, qualcuno può aiutarmi con questo esercizio?:)
Data la matrice
$A=((0, 2, 0, 0),(0, 0, 2, 0),(0, 0, 0, 2),(2, 0, 0, 0))$
Quanto vale $A^ 13$ ?
Naturalmente non viene richiesto di fare tutti i prodotti, bisogna trovare una "scorciatoia".
Facendo due prodotti intanto ho notato che $A^4$ è una matrice scalare data da $2^4*I$... com'è possibile sfruttare questa cosa?
Ciao a tutti, sono pier paolo e sono iscritto al primo anno di matematica Vorrei chiedervi aiuto su delle questioni particolari di algebra lineare che non riesco a spiegarmi bene ricorrendo all'usuale teoria degli spazi vettoriali. Si tratta in particolare di spazi vettoriali di dimensione infinita.
1) \(\displaystyle \mathbb{R} \) spazio vettoriale su \(\displaystyle \mathbb{Q} \)
Si verifica facilmente che l'insieme dei numeri reali \(\displaystyle \mathbb{R} \), munito dell'usuale ...
Salve ragazzi, qualcuno può spiegarmi come si risolve l'equazione vettoriale $vec x xx vec a=vec b$, dove $vec x$ è il vettore incognito e $vec a$ e $vec b$ sono vettori noti.
Grazie!
SI può determinare usando gauss, e se si presenta un pivot nullo, vuol dire che è singolare...
$A = ((-1,0,2,4),(3,1,2,2),(0,4,1,3),(2,1,-1,0)) -> ((-1,0,2,4),(0,1,8,14),(0,4,1,3),(2,1,-1,0)) -> ((-1,0,2,4),(0,1,8,14),(0,4,1,3),(0,1,3,8)) -> ((-1,0,2,4),(0,1,8,14),(0,0,-11,-29),(0,1,3,8)) $
$-> ((-1,0,2,4),(0,1,8,14),(0,0,-11,-29),(0,0,-5,-6)) $
dove ho premoltiplicato in ordine per $E_{2,1}(3) * E_{4,1}(2) * E_{3,4}(-4) * E_{4,2}(-1)$ ora quel $-5$ come lo tolgo?
Grazie
non riesco a capire come va svolto questo esercizio:
Trovare condizioni su [tex]a, b, c \in R[/tex] affinche [tex]\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} \in Span (\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 6 \\ -2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3 \\ -11 \\ 7 \end{bmatrix})[/tex]
Ciao a tutti! Avrei un problema a trovare la matrice X nell'equazione: AAX-BCX-A=0
A=1 1 1
2 0 -1
0 1 1
B= 1 -2
0 2
2 -1
C= 1 1 2
0 1 1
Come posso fare? Grazie anticipatamente per la risposta.
Ho la matrice [tex]A_t =[/tex] [tex]\begin{bmatrix} 1-t & 0 & t+1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ t+1 & 0 & 1-t & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/tex] e devo trovare una base per l'immagine di At e una base per il Ker di At.
Per fare questo esercizio mi sono calcolato il rango della matrice che mi viene 3 per t diverso da 0 e da 1. Quindi la dimensione dell'immagine di At è 3 e una sua base è data dai vettori linearmente indipendenti, quindi [tex](1-t, 0, t+1, 0)[/tex] e [tex](0,1,0,1)[/tex] e ...
Ciao a tutti ragazzi, devo dire se questa matrice [tex]A_t =[/tex][tex]\begin{bmatrix} t & 0 & 1 \\ 1 & t & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/tex] è invertibile e calcolare, se possibile, [tex]A_{2}^{-1}[/tex]
So che una matrice è invertibile quando il suo determinante è diverso da zero, e svolgendo i calcoli viene che il det è diverso da 0 quando t è diverso da 0 e -1. Quindi per t diverso da 0 e -1 la matrice è invertibile.
Ma che vuol dire calcolare [tex]A_{2}^{-1}[/tex]? devo calcolare ...
Buongiorno. Qualcuno di voi sa se si può dimostrare o meno che, dato uno spazio topologico, è possibile trovare una base topologica dello stesso che NON contenga lo spazio campione. Grazie.
[xdom="gugo82"]Modificato il titolo.
Ricordo allo OP che il titolo deve essere specifico ed essere scritto non in maiuscolo.[/xdom]
Se da un lato ho (stranamente) ben compreso una buona parte delle tecniche per diagonalizzare/triangolarizzare una matrice e della teoria associata, dall'altro c'è un dubbio che ancora non sono riuscito a dissipare.
Come ben tutti sapete, una matrice quadrata \(\displaystyle A \) di ordine \(\displaystyle n \) è diagonalizzabile se esistono una matrice quadrata \(\displaystyle P \) di ordine \(\displaystyle n \) invertibile ed una matrice diagonale \(\displaystyle \Delta \) tali che ...
Quando si scrive
\[
\begin{split}
Ax&=\lambda x\\
Ax&=\lambda I x\\
Ax-\lambda I x&=0\\
(A-\lambda I)x&=0
\end{split}
\]
Di quali proprietà si fa uso? Della linearità e della proprietà distributiva del prodotto fra matrici?
\[
\begin{split}
[A][x]&=[\lambda x]=\lambda [x]\\
[A][x]&=[\lambda I][x]\\
[A][x]-[\lambda I][ x]&=0\\
([A]-[\lambda I])[x]&=0
\end{split}
\]E' questa la corretta interpretazione? Perché non capisco se anche
\[
\begin{split}
Ax&=\lambda x\\
Ax-\lambda ...
Buongiorno. Qualcuno ha idea se si possa dimostrare o confutare che data una classe A non vuota di insiemi la cui intersezione è non vuota, e ammettendo che la suddetta intersezione sia contenuta nell'unione fra una seconda classe B di insiemi non vuota allora esiste un sottoinsieme C non vuoto di B tale che la solita intersezione è precisamente uguale all'unione fra gli insiemi della seconda classe che stanno in C?
Piccola nota: il titolo del topic si riferisce non alla domanda in sè ma a ...
Ciao a tutti!
Qualche idea per dimostrare l'identità
\(\textbf{w} \wedge rot \textbf{w} = \frac{1}{2}\nabla (|\textbf{w}|^2) - (\textbf{w}\cdot \nabla) \textbf{w} ??? \)
Io non ci capisco molto di calcolo vettoriale e ho provato diverse volte, ma non so più dove sbattere la testa!
siano date le rette r e s di equazione rispettivamente , x-y=0 e x-2=0 , e sia P il punto d'intersezione di r e s . Qual'è l'equazione della retta passante per P ed avente coefficiente angolare pari al reciproco dell'area del triangolo formato da r ,s e x ?
Svolgimento :
$\{(x - y= 0),(x - 2= 0):}$
$\{(y= 2),(x = 2):}$
P° ha coordinate ( 2 , 2) , data l'equazione della retta passante per un Punto P si ha :
y-y°=m (x-x°)
per calcolare l'area del triangolo formato da r , s e x ho difficoltà perche la ...
Ciao a tutti,
mi sono appena iscritto e ho già una domanda per voi esperti!
Supponiamo di avere i seguenti due punti: (0,0) e (5,25).
La distanza tra questi due punti è, secondo il teorema di Pitagora, $sqrt(5^2 + 25^2) ~= 25.49$
La prima domanda che mi pongo è: cosa è più corretto dire? "La distanza tra i due punti è 25.49" o "il vettore tra (0,0) e (5,25) è lungo 25.49"?
O "la norma del vettore è 25.49"?
Dopo queste semplici domande vorrei passare a qualcosa di un poco più complesso: è ...
Ho alcune domande di teoria da verificare che mi creano molti dubbi:
--Se A e B , due matrici quadrate dello stesso ordine,sono invertibili e AB=BA,allora $A^(-1^)B^(-1)= B^(-1)A^(-1)$?
La scritta "sono invertibili" sta a significare che A è l'inversa di B e vicerversa,oppure che ognuna ha una sua inversa per fatti propri?
Il fatto che AB=BA significa che commutano,cioè che per loro vale la proprietà commutativa del prodotto,e quindi se se A fosse l'inversa di B e viceversa la proposizione sarebbe ...
La professoressa oggi ha accennato il calcolo di una matrice inversa. Ha detto che ci sono vari metodi con i sistemi, con i determinanti ecc ecc e ci ha fatto un esempio con un altro metodo, che non so se abbia un nome. In pratica data una matrice quadrata $A$ scriviamo $(A | I)$ usiamo l'eliminazione di gauss per $A$,la portiamo in forma canonica (ovvero una volta che $A$ è a scala, occorre far diventare zero tutti i coefficienti che si trovano ...
Salve a tutti, la settimana scorsa sono stato male e mi sono assentato alla spiegazione di matematica sulla circonferenza.
Ho fatto qualche problema per esercitarmi e non ho avuto particolari problemi. Ora mi trovo a fare un problema che è il seguente:
Determinare l'equazione della circonferenza di raggio 3, passante per P(1,1) e con centro di ordinata -2
Penso che si debbano imporre certe "condizioni", però non ho ben capito il ragionamento che devo seguire!Tra l'altro, sul mio libro non ci ...
Sia
$B=((5,0,-2,0,0,0),(0,7,0,0,4,1),(2,0,1,0,0,0),(0,0,0,6,0,3),(0,-4,0,0,-1,0),(0,0,0,-3,0,0)).$
Ora se calcolo $|\lambda-B|$ trovo che $P_B(\lambda)=(x-3)^6,$ quindi c'è un unico autovalore $\lambda=3.$ Mi calcolo:
$B-3=((2,0,-2,0,0,0),(0,4,0,0,4,1),(2,0,-2,0,0,0),(0,0,0,3,0,3),(0,-4,0,0,-4,0),(0,0,0,-3,0,-3)),$ di rango 4;
$(B-3)^2=((0,0,0,0,0,0),(0,0,0,-3,0,1),(0,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,-4),(0,0,0,0,0,0)),$ di rango 2, e
$(B-3)^3=((0,0,0,0,0,0),(0,0,0,-12,0,-12),(0,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,0),(0,0,0,12,0,12),(0,0,0,0,0,0)),$ di rango 1.
$(B-3)^4$ è la matrice nulla $0_{6\times 6}.$
Tralasciamo il calcolo della forma di Jordan che risulta essere
$J=((3,1,0,0,0,0),(0,3,0,0,0,0),(0,0,3,1,0,0),(0,0,0,3,1,0),(0,0,0,0,3,1),(0,0,0,0,0,3)).$
Mi interessa invece la matrice $P$ tale che $P^{-1}BP=J.$
Ora prendo $e_4=((0),(0),(0),(1),(0),(0))$ e ...
Sia $A=((cos\varphi,sin\varphi),(-sin\varphi,cos\varphi))$
Voglio calcolare $A^-1$, utilizzando la seguente formula:
$A^-1=1/det(A)*A'$, dove $A'$ è la matrice aggiunta di $A$
$det(A)=cos\varphi*cos\varphi-(sin\varphi*-sin\varphi)$
$det(A)=cos^2\varphi+sin^2\varphi$
$det(A)=1$
$A'=((cos\varphi,-sin\varphi),(sin\varphi,cos\varphi))$
Quindi si ricava che:
$A^-1=1*((cos\varphi,-sin\varphi),(sin\varphi,cos\varphi))$
$A^-1=((cos\varphi,-sin\varphi),(sin\varphi,cos\varphi))$
Siccome è un esercizio veloce assegnato per casa di cui non ho la soluzione, chiedo a voi se è tutto corretto
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