Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao a tutti, sono pier paolo e sono iscritto al primo anno di matematica Vorrei chiedervi aiuto su delle questioni particolari di algebra lineare che non riesco a spiegarmi bene ricorrendo all'usuale teoria degli spazi vettoriali. Si tratta in particolare di spazi vettoriali di dimensione infinita.
1) \(\displaystyle \mathbb{R} \) spazio vettoriale su \(\displaystyle \mathbb{Q} \)
Si verifica facilmente che l'insieme dei numeri reali \(\displaystyle \mathbb{R} \), munito dell'usuale ...
Salve ragazzi, qualcuno può spiegarmi come si risolve l'equazione vettoriale $vec x xx vec a=vec b$, dove $vec x$ è il vettore incognito e $vec a$ e $vec b$ sono vettori noti.
Grazie!
SI può determinare usando gauss, e se si presenta un pivot nullo, vuol dire che è singolare...
$A = ((-1,0,2,4),(3,1,2,2),(0,4,1,3),(2,1,-1,0)) -> ((-1,0,2,4),(0,1,8,14),(0,4,1,3),(2,1,-1,0)) -> ((-1,0,2,4),(0,1,8,14),(0,4,1,3),(0,1,3,8)) -> ((-1,0,2,4),(0,1,8,14),(0,0,-11,-29),(0,1,3,8)) $
$-> ((-1,0,2,4),(0,1,8,14),(0,0,-11,-29),(0,0,-5,-6)) $
dove ho premoltiplicato in ordine per $E_{2,1}(3) * E_{4,1}(2) * E_{3,4}(-4) * E_{4,2}(-1)$ ora quel $-5$ come lo tolgo?
Grazie
non riesco a capire come va svolto questo esercizio:
Trovare condizioni su [tex]a, b, c \in R[/tex] affinche [tex]\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} \in Span (\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 6 \\ -2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3 \\ -11 \\ 7 \end{bmatrix})[/tex]
Ciao a tutti! Avrei un problema a trovare la matrice X nell'equazione: AAX-BCX-A=0
A=1 1 1
2 0 -1
0 1 1
B= 1 -2
0 2
2 -1
C= 1 1 2
0 1 1
Come posso fare? Grazie anticipatamente per la risposta.
Ho la matrice [tex]A_t =[/tex] [tex]\begin{bmatrix} 1-t & 0 & t+1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ t+1 & 0 & 1-t & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/tex] e devo trovare una base per l'immagine di At e una base per il Ker di At.
Per fare questo esercizio mi sono calcolato il rango della matrice che mi viene 3 per t diverso da 0 e da 1. Quindi la dimensione dell'immagine di At è 3 e una sua base è data dai vettori linearmente indipendenti, quindi [tex](1-t, 0, t+1, 0)[/tex] e [tex](0,1,0,1)[/tex] e ...
Ciao a tutti ragazzi, devo dire se questa matrice [tex]A_t =[/tex][tex]\begin{bmatrix} t & 0 & 1 \\ 1 & t & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/tex] è invertibile e calcolare, se possibile, [tex]A_{2}^{-1}[/tex]
So che una matrice è invertibile quando il suo determinante è diverso da zero, e svolgendo i calcoli viene che il det è diverso da 0 quando t è diverso da 0 e -1. Quindi per t diverso da 0 e -1 la matrice è invertibile.
Ma che vuol dire calcolare [tex]A_{2}^{-1}[/tex]? devo calcolare ...
Buongiorno. Qualcuno di voi sa se si può dimostrare o meno che, dato uno spazio topologico, è possibile trovare una base topologica dello stesso che NON contenga lo spazio campione. Grazie.
[xdom="gugo82"]Modificato il titolo.
Ricordo allo OP che il titolo deve essere specifico ed essere scritto non in maiuscolo.[/xdom]
Se da un lato ho (stranamente) ben compreso una buona parte delle tecniche per diagonalizzare/triangolarizzare una matrice e della teoria associata, dall'altro c'è un dubbio che ancora non sono riuscito a dissipare.
Come ben tutti sapete, una matrice quadrata \(\displaystyle A \) di ordine \(\displaystyle n \) è diagonalizzabile se esistono una matrice quadrata \(\displaystyle P \) di ordine \(\displaystyle n \) invertibile ed una matrice diagonale \(\displaystyle \Delta \) tali che ...
Quando si scrive
\[
\begin{split}
Ax&=\lambda x\\
Ax&=\lambda I x\\
Ax-\lambda I x&=0\\
(A-\lambda I)x&=0
\end{split}
\]
Di quali proprietà si fa uso? Della linearità e della proprietà distributiva del prodotto fra matrici?
\[
\begin{split}
[A][x]&=[\lambda x]=\lambda [x]\\
[A][x]&=[\lambda I][x]\\
[A][x]-[\lambda I][ x]&=0\\
([A]-[\lambda I])[x]&=0
\end{split}
\]E' questa la corretta interpretazione? Perché non capisco se anche
\[
\begin{split}
Ax&=\lambda x\\
Ax-\lambda ...
Buongiorno. Qualcuno ha idea se si possa dimostrare o confutare che data una classe A non vuota di insiemi la cui intersezione è non vuota, e ammettendo che la suddetta intersezione sia contenuta nell'unione fra una seconda classe B di insiemi non vuota allora esiste un sottoinsieme C non vuoto di B tale che la solita intersezione è precisamente uguale all'unione fra gli insiemi della seconda classe che stanno in C?
Piccola nota: il titolo del topic si riferisce non alla domanda in sè ma a ...
Ciao a tutti!
Qualche idea per dimostrare l'identità
\(\textbf{w} \wedge rot \textbf{w} = \frac{1}{2}\nabla (|\textbf{w}|^2) - (\textbf{w}\cdot \nabla) \textbf{w} ??? \)
Io non ci capisco molto di calcolo vettoriale e ho provato diverse volte, ma non so più dove sbattere la testa!
siano date le rette r e s di equazione rispettivamente , x-y=0 e x-2=0 , e sia P il punto d'intersezione di r e s . Qual'è l'equazione della retta passante per P ed avente coefficiente angolare pari al reciproco dell'area del triangolo formato da r ,s e x ?
Svolgimento :
$\{(x - y= 0),(x - 2= 0):}$
$\{(y= 2),(x = 2):}$
P° ha coordinate ( 2 , 2) , data l'equazione della retta passante per un Punto P si ha :
y-y°=m (x-x°)
per calcolare l'area del triangolo formato da r , s e x ho difficoltà perche la ...
Ciao a tutti,
mi sono appena iscritto e ho già una domanda per voi esperti!
Supponiamo di avere i seguenti due punti: (0,0) e (5,25).
La distanza tra questi due punti è, secondo il teorema di Pitagora, $sqrt(5^2 + 25^2) ~= 25.49$
La prima domanda che mi pongo è: cosa è più corretto dire? "La distanza tra i due punti è 25.49" o "il vettore tra (0,0) e (5,25) è lungo 25.49"?
O "la norma del vettore è 25.49"?
Dopo queste semplici domande vorrei passare a qualcosa di un poco più complesso: è ...
Ho alcune domande di teoria da verificare che mi creano molti dubbi:
--Se A e B , due matrici quadrate dello stesso ordine,sono invertibili e AB=BA,allora $A^(-1^)B^(-1)= B^(-1)A^(-1)$?
La scritta "sono invertibili" sta a significare che A è l'inversa di B e vicerversa,oppure che ognuna ha una sua inversa per fatti propri?
Il fatto che AB=BA significa che commutano,cioè che per loro vale la proprietà commutativa del prodotto,e quindi se se A fosse l'inversa di B e viceversa la proposizione sarebbe ...
La professoressa oggi ha accennato il calcolo di una matrice inversa. Ha detto che ci sono vari metodi con i sistemi, con i determinanti ecc ecc e ci ha fatto un esempio con un altro metodo, che non so se abbia un nome. In pratica data una matrice quadrata $A$ scriviamo $(A | I)$ usiamo l'eliminazione di gauss per $A$,la portiamo in forma canonica (ovvero una volta che $A$ è a scala, occorre far diventare zero tutti i coefficienti che si trovano ...
Salve a tutti, la settimana scorsa sono stato male e mi sono assentato alla spiegazione di matematica sulla circonferenza.
Ho fatto qualche problema per esercitarmi e non ho avuto particolari problemi. Ora mi trovo a fare un problema che è il seguente:
Determinare l'equazione della circonferenza di raggio 3, passante per P(1,1) e con centro di ordinata -2
Penso che si debbano imporre certe "condizioni", però non ho ben capito il ragionamento che devo seguire!Tra l'altro, sul mio libro non ci ...
Sia
$B=((5,0,-2,0,0,0),(0,7,0,0,4,1),(2,0,1,0,0,0),(0,0,0,6,0,3),(0,-4,0,0,-1,0),(0,0,0,-3,0,0)).$
Ora se calcolo $|\lambda-B|$ trovo che $P_B(\lambda)=(x-3)^6,$ quindi c'è un unico autovalore $\lambda=3.$ Mi calcolo:
$B-3=((2,0,-2,0,0,0),(0,4,0,0,4,1),(2,0,-2,0,0,0),(0,0,0,3,0,3),(0,-4,0,0,-4,0),(0,0,0,-3,0,-3)),$ di rango 4;
$(B-3)^2=((0,0,0,0,0,0),(0,0,0,-3,0,1),(0,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,-4),(0,0,0,0,0,0)),$ di rango 2, e
$(B-3)^3=((0,0,0,0,0,0),(0,0,0,-12,0,-12),(0,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,0),(0,0,0,12,0,12),(0,0,0,0,0,0)),$ di rango 1.
$(B-3)^4$ è la matrice nulla $0_{6\times 6}.$
Tralasciamo il calcolo della forma di Jordan che risulta essere
$J=((3,1,0,0,0,0),(0,3,0,0,0,0),(0,0,3,1,0,0),(0,0,0,3,1,0),(0,0,0,0,3,1),(0,0,0,0,0,3)).$
Mi interessa invece la matrice $P$ tale che $P^{-1}BP=J.$
Ora prendo $e_4=((0),(0),(0),(1),(0),(0))$ e ...
Sia $A=((cos\varphi,sin\varphi),(-sin\varphi,cos\varphi))$
Voglio calcolare $A^-1$, utilizzando la seguente formula:
$A^-1=1/det(A)*A'$, dove $A'$ è la matrice aggiunta di $A$
$det(A)=cos\varphi*cos\varphi-(sin\varphi*-sin\varphi)$
$det(A)=cos^2\varphi+sin^2\varphi$
$det(A)=1$
$A'=((cos\varphi,-sin\varphi),(sin\varphi,cos\varphi))$
Quindi si ricava che:
$A^-1=1*((cos\varphi,-sin\varphi),(sin\varphi,cos\varphi))$
$A^-1=((cos\varphi,-sin\varphi),(sin\varphi,cos\varphi))$
Siccome è un esercizio veloce assegnato per casa di cui non ho la soluzione, chiedo a voi se è tutto corretto
1) Che differenza c'è tra una base,$ B(v_1 ... v_n) $, e un sistema di generatori $L(v_1...v_n)$ o $Span(v_1...v_n)$?
2) Una base è anche uno spazio vettoriale? (Dovrebbe essere No, perchè una base contiene vettori Linearm Indip cioè la somma di due vettori NON da' un vettore che ricade nella base, giusto?)
3) Qual è il SIGNIFICATO GEOMETRICO della dipendeza lineare per vettori di $V^2$ (piano dei vettori geometrici liberi non applicati a uno specifico punto)?
4) Come si ...
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