Chiarimento su appunto a lezione

[giuscri]

Appunti dalla lezione:

Presi due sottospazi di $V$, $V1$ e $V2$:

$V1 \oplus V2$ è la somma diretta: associo ad ogni elemento di $V1$ un elemento di $V2$.
$V1 + V2$ è la somma.

Sia f la funzione che ad ogni coppia restituita dalla somma diretta associa la somma dei due valori della coppia.

f è suriettiva? Sì, perché ad ogni coppia restituitami dalla somma diretta, esiste il suo valore associato, dato dalla somma.

f è iniettiva?:

$(0_(V1) , 0_(V2))$ è l'unico elemento del nucleo se e solo se f è iniettiva.

Dimostriamo allora che f è iniettiva:

supponiamo che la coppia $v1,v2$ appartenga al nucleo di f. Allora $v1+v2=0_(V1\oplusV2)$; cioé $v1=-v2$.

Mi accorgo che sia $v1$ che $v2$ appartengono a $V1 \cap V2$. //Quì non capisco

Allora $\ker(f){(v1,-v1)}$ con $v1 \in V1\capV2$.

Ma dato che f è iniettiva, $V1\capV2={0_(V1\oplusV2)}$; allora v1 può essere solo $0_(V1\oplusV2)$.

Secondo voi sono corretti questi appunti? Potete consigliarmi qualcosa per capire dove correggere? Se sono giusti invece, vi chiedo di darmi un aiuto per capirci qualcosa. Grazie

[vict85]

Direi che la funzione in questione può benissimo non essere iniettiva a meno che uno non richieda espressamente che l'intersezione sia nulla.