Regolarità Folium di Cartesio
Consideriamo la curva piana parametrizzata $t->(3at/(1+t^3),3at^2/(1+t^3))$ con $a>0$.
Il vettore derivato rispetto al tempo è $(a(3-6t^3)/(t^3+1)^2,-3at(t^3-2)/(t^3+1)^2)$ che non si annulla mai, dunque mi verrebbe da dire che la parametrizzazione in questione è regolare.
Invece non è così, ma perchè?
Il vettore derivato rispetto al tempo è $(a(3-6t^3)/(t^3+1)^2,-3at(t^3-2)/(t^3+1)^2)$ che non si annulla mai, dunque mi verrebbe da dire che la parametrizzazione in questione è regolare.
Invece non è così, ma perchè?
Risposte
La parametrizzazione è regolare a meno di considerare che avrai 3 vettori tangenti nello 0 
A lezione è stato detto che $alpha'(oo)=(0,0)$ è un punto non regolare (anche se qui il significato di $alpha'(oo)$ sarebbe da precisare) dunque la parametrizzazione non è buona e "la coordinata all'infinito non è $t$ ma $1/t$"...non mi è chiaro cosa ciò significhi.
Dovresti vederlo da un punto di vista proiettivo, fatto sta che di fatto all'infinito tenderebbe a (0,0)...
Sisi scusa, non l'ho precisato.
Ho omogeneizzato l'equazione e la sto vedendo nel proiettivo.
Solo che non capisco cosa significhi che la coordinata all'infinito non è $t$ ma $1/t$...
Ho omogeneizzato l'equazione e la sto vedendo nel proiettivo.
Solo che non capisco cosa significhi che la coordinata all'infinito non è $t$ ma $1/t$...
Se parametrizzi con 1/t come coordinata impropria 
Quando vai ad infinito lo mandi a zero
Quando vai ad infinito lo mandi a zero
In che senso parametrizzo con $1/t$ come coordinata impropria? Mi faresti un esempio?
E comunque come hai ricavato $1/t$?
E comunque come hai ricavato $1/t$?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo