Geometria e Algebra Lineare

ciao ragazzi ho problema con un esercizio..mi da una applicazione lineare $f: \mathbb{R}^3-> \mathbb{R} ,f=2x+y-z$ devo calcolare nucleo ed immagine. per il nucleo mi trovo ${(x,y,z):2x+y-z=0} $ che è di dimensione 2 generato dai vettori colonna (1,0,2) e (0,1,1).l'immagine dovrebbe avere dunque dimensione 1 e corrispondere con la retta reale.nella risoluzione dell'esercizio mi da come risultato che Imf=$ \mathbb{R}^3$.....per quale motivo?dove sbaglio?

Salve a tutti, avrei questo esercizio Dato l'endomorfismo f: R³->R³ associato, rispetto alle basi canoniche alla matrice $A=((2,h,-1),(1,1,0),(0,h,h))$ 1) studiare f al variare di h determinando in ciascun caso Imf e Kerf 2) Nel caso h=0 studiare la semplicità della f e trovare eventualmente una base di auto vettori 3) Calcolare, al variare di h, la contro immagine del vettore (-1-1,0) Ho provato a semplificare la matrice e sono arrivato a questo punto $A=((2,h,-1),(h-2,0,1),(0,0,h²-h-1))$ intanto non ho ben capito se sono ...

salve sto facendo un esercizio che pero' non mi è chiaro . sia $V$ lo spazio delle matrici $X$ $3x3$ reali tali che $X^(t)=-X$ sia $f$ l'applicazione lineare da $V$ in se stesso tale che $f(X)=AX+XA$ dove $A=$ $((0,1,-1),(1,0,1),(-1,1,0))$ ho gia' provato che $ E1$=$((0,1,0),(-1,0,0),(0,0,0))$ $ E2$=$((0,0,1),(0,0,0),(-1,0,0))$ $ E3$=$((0,0,0),(0,0,1),(0,-1,0))$ sono una base di ...

salve. mi potreste dire quali sono le caratterizzazioni (algebrica e geometrica) per le curve riducibii?

Salve, all'esame di matematica 1, è stato assegnato questo esercizio: Trovare la matrice associata alla seguente applicazione lineare $f(x,y,z)=(x+2y+2z, x-4y+z)$, rispetto alle basi B={(1,2,3),(0,2,1),(0,1,3)} e B'={(2,3),(0,2)}. La mia difficoltà nasce dal fatto che le dimensioni del Dominio e dell'Immagine sono diverse (3 e 2). La matrice di $f$ rispetto alla base canonica di $RR^3$ è A= $((1,2,2), (1,-4,1))$. Ora dovrei applicare la formula $A_B= N A N^(-1)$ con ...

Salve a tutti vorrei chiedere un parere su un'esercizio che mi sono trovato a svolgere in preparazione dell'esame di matematica discreta 2, ho qualche dubbio sulla parte 3 data la matrice A = $ ( ( 1 , i , 0 ),( -i , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $ 1) si determinino autovalori e autospazi di A 2)si stabilisca se la matrice A è diagonalizzabile su C (campo dei numeri complessi) 3)si determini esplicitamente, se esiste, una matrice invertibile P tale che $ P^-1*A*P $ sia una matrice diagonale. Si scriva inoltre il ...

Ho un problema nel risolvere questo esercizio: "Dimostrare che una funzione $f$ è continua se e solo se $f^-1((a,+oo))$ e $f^-1((-oo,a))$ sono aperti, per ogni $a$ appartenente a $R$. Tale affermazione è ancora vera per ogni $a$ appartenente a $Q$? Ho dimostrato che $f$ continua implica che $f^-1((a,+oo))$ e $f^-1((-oo,a))$ sono aperti. Qualche suggerimento per dimostrare l'altra implicazione e il ...

Buonasera, vorrei qualche delucidazione riguardo il seguente esercizio. Ho queste 2 rette date come intersezione di 2 piani e devo stabilire se sono incidenti, parallele o sghembe: $r:\{(x -2y=0),(x -y +2z=0):}$ $s:\{(x-y+z=0),(x-y-2z=1):}$ Per la prima retta procedo in questo modo.. Considero queste 2 matrici: $A=((1,-2,0),(1,-1,2))$ $(A|B)=((1,-2,0,0),(1,-1,2,0))$ Il rango di queste 2 matrici è ovviamente $2$ quindi il sistema è compatibile e le soluzioni sono tutti i punti della retta ...

Ciao a tutti, mi trovo con un quesito: Devo trovare la dimensione ed una base del seguente sottospazio: $S={v_1=\((6),(0),(5)), v_2=\((-1),(5),(0)), v_3=\((5),(5),(5))}$ Ora è facile notare che $v_3 = v_1 + v_2$, quindi mi bastano $v_1$ e $v_2$ per descrivere il mio sottospazio e dato che tra loro non sono linearmente dipendenti, ne formano anche una base e la dimensione della base è $2$. Ora vorrei chedervi se questa puo' andare come risposta alla domanda "trovare una base e dimensione di ...

Cari amici! Trovo sul mio testo, il Sernesi, il seguente lemma (Geometria II, 15.3):Sia $X$ uno spazio topologico e $E:\mathbf{I}×\mathbf{I}\toX$ un'applicazione continua. Poniamo \(f(t)=E(0,t),g(t)=E(1,t)h(s)=E(s,0),k(s)=E(s,1)\). Allora:\[f^0\ast h\ast g\simeq_{\text{rel}\{0,1\}}k\] dove $f,g,h,k$ sono archi tali che \(\mathbf{I}\to X\), \(f^0(s)=f(1-s)\), \(f\ast g\) è il prodotto dell'arco $f$ per l'arco $g$, e l'equivalenza è ...

Ciao a tutti! Ho da risolvere un esercizio: In $ mathbb(C)^4 $ ho le curve così parametrizzate: $ X={(t,t^2,t^3,0)|t \in mathbb{C}} $ $ Y={(0,u,0,1)|u \in mathbb{C}} $ Poi definisce il Join J(X,Y) =$ \bigcup_{P\inX,Q\inY}PQ $ intendendo con PQ le rette per P e Q. Chiede quindi di descrivere questo insieme, dicendo se è algebrico. Io ho parametrizzato questo J, ed è risultato così: $ {(tk,u+kt^2-ku,kt^3,1-k)|t,k,u\in\mathbb{C}} $ A questo punto mi sono costruito il polinomio $ F=x^3-z(w-1)^2 $ che si annulla nei punti di J. Poi ho preso un punto qualunque ...

Buongiorno, premetto subito che ho letto il topic "algebra for dummies", mi è stato utile e ringrazio veramente l' autore. Ciò che mi manca ancora di capire sono alcune proprietà che mi si sono presentate davanti ora nello studio di un' altra materia e che quindi ho dovuto prendere "così per buone". Il motivo per cui non riesco a comprenderle, è perchè non riesco proprio ad immaginare cosa siano, mi riferisco in particolare a ciò che viene scritto come \(\displaystyle[Ker M]^T \) dove con M si ...

Dati 13 generatori di ${p(z) \in C_\leq6[z] : p^{(2)} (1-i)= O}$, quanti bisogna scartarne per avere una base? Avendo una sola condizione le dimensioni da 7 vanno a 6 quindi 13-6 = 7 generatori da togliere. Mi chiedo, ma il fatto che sia derivata seconda o altro e che sia calcolata in (1-i) piuttosto che in un altro numero $ \in C$, cambia qualcosa? Grazie a rutti.

Ciao, amici! Trovo scritto sul Sernesi, Geometria II, che "poiché \(\mathbf{S}^1\) [la circonferenza di raggio unitario e centro \(\mathbf{0}\in\mathbb{R}^2\)] è compatta non esiste un atlante differenziabile costituito da una sola carta". Non mi è affatto chiaro che cosa c'entri la compattezza di \(\mathbf{S}^1\) con il numero delle carte... Qualcuno sarebbe così gentile da venirmi in aiuto? \(\infty\) grazie e buona Pasqua a tutti!!!

ciao a tutti, mi servirebbe un aiuto perchè sono confuso : Partendo da un insieme $ W= {(x,y,z) in RR^3 | x+2y+3z =0}$ come faccio a verificare che è sottospazio di $RR^2$, e a trovare la sua base? E' giusto interpretare lo spazio $W$ come quello spazio generato dalla funzione lineare $f$ che partendo da $(x,y,z)$ assegna $ x +2y +3x$ ovvero che da $RR^3$ mi da un numero in $RR$? Partendo da ciò potrei prendere 2 elementi ...

Ciao, amici! Definito un morfismo $F:X\to Y$, dove $X$ e $Y$ sono varietà differenziabili, come un'applicazione tale che, per ogni carta locale \((U,\phi_U)\) in $X$ e \((V,\psi_V)\) in $Y$, la composizione \(\psi_V·F·\phi_U^{-1}:\phi_U (U)\to\mathbb{R}^m\) è differenziabile, un diffeomorfismo $F:X\to Y$ è definito dal mio testo come un morfismo che è un omeomorfismo e tale che $F^{-1}$ è un morfismo. Un esempio di ...

Ciao, amici! Trovo sul Sernesi, Geometria II, che i sottoinsiemi \(U=\{\mathbf{x}\in\mathbf{S}^n:x_{n+1}>-\epsilon\}\) e \(V=\{\mathbf{x}\in\mathbf{S}^n:x_{n+1}

E' quello che sinceramente mi chiedevo da tempo se: $\vec C = \vecA * \vec B => \vec C = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z =>\{(C_x = A_x B_x),(C_y = A_y B_y),(C_z = A_z B_z):}$ allora penso che sia giusto scrivere $\vec A = \vec C/\vec B => \vec A = C_x /B_x + C_y /B_y + C_z /B_z =>\{(A_x = C_x/ B_x),(A_y = C_y /B_y),(A_z = C_z/ B_z):}$ Sinceramente questa non l'ho trovata da nessuna parte forse starei facendo un oltraggio io alla matematica.... ma sembra un ragionamento giusto.... voi che ne pensate?

Buonasera! Stavo iniziando a studiare gli spazi affini quando ho cominciato ad avere un dubbio: dato un generico spazio vettoriale su un generico campo, è sempre possibile costruirci uno spazio affine? Oppure ci sono spazi vettoriali che non ammettono spazi affini? In breve, l'esistenza di uno spazio affine è indipendente dallo spazio vettoriale su cui esso è costruito? Vi ringrazio in anticipo!

Salve a tutti, ho qualche difficolta' con il seguente problema di geometria algebrica: Si assuma che $k$ sia un campo qualsiasi. Sia $C$ la curva affine "spaziale" parametrizzata dalle equazioni $(t,t^2,t^3)$ con $t\in k$; dimostrare che $C$ e' un insieme algebrico affine, trovare l'ideale $I(C)$ e dimostrare che l'algebra affine $\Gamma(C)=\frac{k[X,Y,Z]}{I(C)}$ e' isomorfa all'anello di polinomi in una variabile $k[X]$. Sono ...