Dimensione e base per uno spazio vettoriale

[manuelferrara1]

Grazie all'utente "ciromario" ho capito nella pratica che se ho {(x,y,z)ε R^3: x+ 2y+ z=0} e questo è uno spazio vettoriale, allora posso scrivere che x= -2y- z.
Da questa capisco che ho due variabili libere e quindi la dimensione è 2 e posso partire proprio da questa equazione per trovare una base del sottospazio: pongo y=1 e z=0 e ottengo il vettore (-2, 1, 0). Metto poi y=0, z=1 ed ottengo il vettore (-1, 0, 1) ed ottengo questa base: {(-2,1,0);(-1,0,1)}

Questo caso generale ora mi è chiaro grazie a "ciromario" che ringrazio.

In questi due casi come faccio NELLA PRATICA a trovare dimensione e base??

1) {ax^2+bx+c ε R^2[x]: 2a+3b=0}
2) {
(a b) appartiene ad M(2,2): a+c+d=0}
(c d)

IO ho pensato di fare così:

1) 2a+ 3b=0, 2a= -3b, ho quindi una variabile libera e quindi la dimensione è 1 (invece dovrebbe essere 2 cavolo), poi pongo b=1 ed ottengo che a=(3/2). Sostituisco nell'espressione generale ax^2+bx+c ed ottengo x^2-(2/3)x che è una base (questo torna con le soluzioni)

2) l'ho suddiviso in 3 "casi" usando sempre il procedimento sopra.
2-1) a= -c -d
d= 0 e c=1
a=-1
ottengo la base
(-1 0)
(1 0)
2-2) c=-a-d, d=0 e a=1
c= -1
(a 0)
(-1 0)
2-3) d=-a-c, c=0 e a=1
d=-1
(1 0)
(0 -1)

Tuttavia non ho ben capito perchè la dimensione è 3.

E' corretto il mio procedimento??
Mi spiegate NELLA PRATICA PASSAGGIO DOPO PASSAGGIO come risolvere i 2 casi che ho riportato? Soprattutto per quanto riguarda la dimensione.

Grazie

P.S.: scrivete e commentate i passaggi che fate per favore

[Sk_Anonymous]

Nel primo esercizio ti sei dimenticata la variabile $c$. Quindi le variabili libere sono 2 ( $b$ e $c$ ) mentre la $a$ è variabile legata ($ 2a=-3b)$. Pertanto la dimensione è effettivamente $2$. Per avere una base devi far variare opportunamente $b$ e $c$. Per esempio, sempre tenendo conto che $2a=-3b$, puoi porre :
$a=3,b=-2,c=0$ ed ottieni così il polinomio $3x^2-2x$
$a=3,b=-2,c=1$ ed ottieni così il polinomio $3x^2-2x+1$
La base richiesta è quindi :${(3x^2-2x),(3x^2-2x+1)}$

Nel secondo esercizio le variabili sono 4: $a,b,c,d$ ma di esse la $a$ è legate alle altre dalla relazione $a=-c-d$
e quindi la dimensione dello spazio vettoriale in questione è $4-1=3$
Per avere quindi una base occorrono tre matrici 2x2 tra loro indipendenti. Sempre come esempio, puoi porre :
$b=1,c=0,d=0$ e quindi $a=-c-d=0$
$b=0,c=1,d=0$ e quindi $a=-c-d=-1$
$b=0,c=0,d=1$ e quindi $a=-c-d=-1$
Pertanto la base è :
${ ((0,1),(0,0)) ,((-1,0),(1,0)) ,((-1,0),(0,1)) }$

[manuelferrara1]

Grazie ancora ciro!!