Si determini per quali valori di h la funzione è lineare

[m911]

si determini per quali valori di h la funzione $ f:R^3->R^3 $ è lineare
$ f(x,y,z)=(x+y,x-hy,z^2-h) $
la funzione è lineare se verifica la proprietà $ f(v1+v2)=f(v1)+F(v2) $

1) $ f(x+x^{\prime},y+y^{\prime},z+z^{\prime})=(x+y,x-hy,z^2-h)+(x^{\prime}+y^{\prime},x^{\prime}-hy^{\prime},z^('2)-h) $
$ (x+x^{\prime}+y+y^{\prime},x+x^{\prime}-hy-hy^{\prime},z^2+z^('2)-h)=(x+x^{\prime}+y+y^{\prime},x+x^{\prime}-hy-hy^{\prime},z^2+z^('2)-2h) $
$ z^2+z^('2)-h=z^2+z^('2)-2h $
$ h=0 $
2) $ f(kv1)=kf(v1) $
$ f(kx,ky,kz)=k(x+y,x-hy,z^2-h) $
$ (kx+ky,kx-khy,k^2z^2-h)=(kx+ky,kx-hky,kz^2-hk) $
$ kz^2-hk=k^2z^2-h $

l'unico valore per cui si veridica la 1 priprietà è per h=0, ma per h=0 non verifica la 2 infatti $ kZ^2!= k^2z^2 $

volevo sapere se ho risolto bene l'esercizio...

[Emar1]

Nel primo punto io direi che (considero solo la componente $z$):

$$ f(0,0,z + z') = (0,0, (z + z')^2 -h)^T = (0,0, z^2 + z'^2 +2zz' -h)^T$$
e
$$ (0,0,z^2 -h)^T + (0,0,z'^2 -h)^T = (0,0,z^2 + z'^2 - 2h)^T$$

Cioè secondo me hai dimenticato il prodotto misto $2zz'$.