Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve.
Mi sto confrontando con un esercizio di esame, apparentemente innocuo che però mi lascia qualche dubbio sulla risoluzione.
Sia S l'insieme dei sueguenti vettori di $ R^3 $
$ u1=(1,-1,2) , u2=(0,3,1) , u3=(-3,3,-6) , u4=(2,-3, 11/3) $
L'esercizio mi chiede di trovare dimensione del sottospazio $ L(S) $ di $ R^3 $, di esibire tutte le basi possibili estraibili da S di L(S) e stabilire se il vettore $ v=(5, -6, 29/3) $ appartiene ad L(S) e calcolarne il coordinato rispetto ad una base qualsiasi.
Il ...
ho dei dubbi sulla risoluzione dell'esercizio e vorrei sapere il vostro parere: ho due sottospazi di RR 4
H = { (x,y,z,t,) $ in $ $ RR4 $ | 2x - y + z = x - t = 0 }
K = { (x,y,z,t,) $ in $ $ RR4 $ | x + y = x + z - t = 0 }
a) determinare dimensione e base per H e K.
risolvo $\{(2x - y + z = 0),(x - t = 0):}$ ---> $\{( y = 2t+z),(x = t ):}$ quindi (t,2t+z,z,t) [t (1,2,0,1) + z (0.1.1.0)] per t=1 e z= 1 questa è una base di H ... H ha dimensione 2, va bene il procedimento o ho le ...
Salve ragazzi.
Avrei un quesito riguardo l'argomento citato nel titolo.
Alcuni esercizi chiedono di '' controllare '' se una matrice è invertibile e calcolare l'eventuale inversa.
So che $A$ una matrice è invertibile se esiste $A'$ tale che $A$ $* A'$ $=$ $A' *$ $A$ $= I$ con $I$ che è la matrice unità.
Ora, come si vede se una matrice è invertibile? E, nell'eventualità, come ...
salve, ho studiato il polinomio caratteristico e mi viene che il determinante è uguale a $lambda^3[(lambda+5)^6-5^6]$. qualcuno può dirmi cortesemente per quali valori di lambda il determinante è uguale a 0, ossia lo spec??? e se è diagonalizzabile??? grazie mille!!!
Salve, non mi è chiaro il concetto di insieme di generatori.
Sapreste fornire un esempio concreto affinché io possa capire? Ho cercato gli esempi sul web ma niente da fare!
Ho qualche problema con questa parte. Ho il sospetto che il libro non sia molto chiaro. Dato \(\mathbb{R}^{n}\) considero lo spazio tangente \(T_{p}\mathbb{R}^{n}\). Un capo vettoriale su \(U\subset \mathbb{R}^{n}\) associa a \(p\in U\) un vettore \(X_{p}\in T_{p}\mathbb{R}^{n}\) attraverso la corrispondenza \(p\rightarrow X_{p}\). Lo spazio tangente è isomorfo (con \(\varphi\)) allo spazio vettoriale \(D_{p}\mathbb{R}^{n}\) delle derivazioni da \(C_{p}^{\infty}\mathbb{R}^{n}\) a ...
ciao a tutti!
scrivo un esercizio di geometria II.
Sia $Q(x_1,x_2,x_3)=3(x_1^(2)+x_2^(2)+x_3^(2))-2(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)$ una forma quadratica nello spazio vettoriale $V^3$.
1)verificare che è uno spazio vettoriale euclideo.
2)determinare una base ortonormale di $V^3$, rispetto al prodotto scalare cosi introdotto.
dunque il primo punto l'ho dimostrato dicendo che poiché la matrice associata alla $Q$ ha tutti i minori principali con determinante maggiore di zero, allora è definita positiva, lo è quindi ...
Ciao volevo chiedere se brevemente qualcuno mi spiegasse i passaggi da effettuare per trovare le coordinate del punto A dove passa un piano contenente due rette date. Le rette, 2, sono date come intersezioni di due piani e la seconda espressa con l'ausilio di un parametro lamba.
Chiedo scusa in anticipo se ci fosse già una discussione di questo tipo e non l'avessi vista.
GRAZIE
Data la seguente matrice:
$ A=[[0,-2,-2],[2,0,2],[2,-2,0]] $
discutere sulla diagonalizzabilità in $R$ e in $C$
noto immediatamente che è una matrice antisimmetrica e quindi ipotizzo che se troverò un autovalore (esempio $\lambda = 1$) troverò anche il suo opposto ($\lambda =-1$)
$ (A-lambda I_n) =[[0-lambda,-2,-2],[2,0-lambda,2],[2,-2,0-lambda]] $
salvo errori
$det(A-lambda I_n) = lambda(lambda^2-2) rArr lambda_1 = 0$ e $lambda_2=+-sqrt(2) $
per $lambda = 0 $ mi ritrovo la matrice $A$ che ha ordine 3. Quindi so già che il determinante di una ...
Buongiorno a tutti, è la prima volta che posto ma vi seguo da tanto..
Ho letto tutta la parte di algebra for dummies, ed è veramente molto interessante..
Vi chiedo gentilmente di risolvere alcuni miei quesiti, in vista di un esame;
La matrice in questione è questa:
$((1,-1,0),(-1,2,-1),(0,-1,1))$
gli autovalori relativi li ho già calcolati, e sono $\Lambda$=1 $\Lambda$=0 $\Lambda$=3; con molteplicità algebrica 1
Ora vi chiedo di aiutarmi a trovare i relativi ...
Un autovalore di una matrice è detto semisemplice se $ma(\lambda)=mg(\lambda)$. Intendendo con ma e mg le molteplicità algebrica e geometrica.
Perchè questa definizione?* Esistono anche autovalori "semplici"?
grazie
*EDIT: non a cosa serve, quello lo so, intendo perchè è usato il termine semisemplice.
Allora, ho trovato questo lemma su un libro di meccanica, che fondamentalmente significa che con una rotazione di R^3 un asse mantiene la direzione (con autovalore -1 cambia però il verso). Non c'era la dimostrazione e ho provato a farla io, mi potete confermare la correttezza del procedimento? Credo sia giusta
$A \in SO(3) \Rightarrow A A^T=I \Rightarrow A^T=A^-1$
ovviamente $\sigma(A)=\sigma(A^T)={\lambda_1,\lambda_2, \lambda_3}$
sia $\sigma(A^-1)={1/\lambda_1,1/\lambda_2,1/\lambda_3}$
quindi avendo l'uguaglianza $A^T=A^-1$ $\forall i \lambda_i=1/\lambda_j$ con $i,j \in {1,2,3}$
Quindi si avrà sempre a ...
Salve, ho bisogno del vostro aiuto
In un conticino che sto facendo, mi è venuta fuori una matrice non simmetrica Q. Ho definito il "prodotto scalare" $(\ ,\ )$ dato da $(x,y)= \langle Q x,y \rangle$ dove $\langle\ ,\ \rangle$ è il prodotto scalare in $\mathbb{R}^n$.
Il nuovo "prodotto scalare" è definito positivo, ma non simmetrico... Per arrivare a risolvere la mia congettura, mi basterebbe dimostrare che $( , )$ soddisfa la proprietà di C.S.
\[ (x,x)(y,y)\leq (x,y), \forall x,y , \]
e ...
Salve a tutti, non ho saputo risolvere questo esercizio.
Data l'applicazione lineare f : R ^ (2,2) ----> R 3 dall'anello delle matrici quadrate di ordine 2 allo spazio cartesiano R3
f ( $ ( ( x , y ),( z , t ) ) $ ) = (x+y-z, 2x+3y-4t, y+2z-4t)
Determinare la matrice associata ad f rispetto alle basi
1 ) $ ( ( 1 , 2 ),( 4 , -1 ) ) $ , $ ( ( 0 , 1 ),( 3 , 2 ) ) $ , $ ( ( 0 , 0 ),( 1 , -3 ) ) $ , $ ( ( 0 , 0 ),( 0 , -1 ) ) $
2) ( (1,0,0), (0,1,0) , (0,0,1) )
Come si procede? Per il primo punto avevo pensato di far agire la f ...
Ciao a tutti, questo è un esercizio svolto da un eserciziario, vorrei capire il perchè e il metodo che sta usando, mi sembra semplice e veloce, quindi vorrei capire cosa sta facendo e perchè. Aiutatemi per favore, grazie in anticipo.
Verificare che le rette $ r:{ ( x-y+z=0 ),( x+y-2z-1=0 ):} $ ed $ s: ( ( x ),( y ),( z ) )=( ( 0 ),( 3 ),( 2 ) )+t( ( 1 ),( 3 ),( 2 ) ), \forallt\in RR $
sono parallele e determinare l'equazione cartesiana al piano che le contiene.
allora la seconda richiesta dell'esercizio la so fare, è la prima parte dell'esercizio che il testo fa al seguente modo ...
rapprsentare una qualsiasi sfera passante per l'origine avente raggio 3 (spiegare la scelta)
mi sto incasinando con questo esercizio.
come trovo il centro avendo un punto (0,0) e il raggio =3.
la formula del centro è come quella della circonferenza? ci vuole quella inversa?
grazie a tutti
E' in una appendice dell'algebra lineare di Lang, nel capitolo sui prodotti multilineari. Vorrei essere sicuro di avere capito bene. Dato un campo \(\mathbb{K}\) ed un insieme di lettere \(s_{1},...,s_{n}\) definisco l'insieme \(T\) delle applicazioni tali che \(s_{i}{\small (}s_{j}{\small )}=s_{i}s_{j}=1\) o \(0\) come Kronocker (uso la medesima lettera). Data l'applicazione \(0s_{i}=0\) e \(-s_{i}s_{j}=-1\) o \(0\) come prima, l'insieme \(T\) diventa un gruppo. Con l'applicazione ...
Il problema mi chiede di trovare la circonferenza passante per un punto A e tangente ad una retta r data in un punto P.
Ora non scrivo i dati, mi basta sapere se il ragionamento è giusto:
dato che ci troviamo nello spazio, dobbiamo ottenere la circonferenza mediante l'intersezione tra un piano e una sfera. Il piano credo abbia coefficienti di giacitura uguali ai parametri direttori dlla retta r tangente alla circonferenza e passante per P. Quindi il piano è semplice da trovare.
Passando alla ...
Salve a tutti,
Dovrei trovare le matrici degli autovettori e degli autovalori di una matrice 5x5.
Ho calcolato la matrice degli autovettori tramite l'ortogonalizzazione di Gram Schmidt.
Posta A la matrice di partenza, P la matrice degli autovettori e P' la matrice inversa degli autovettori ho calcolato quella degli autovalori come P'AP.
Il mio problema è che la matrice degli autovalori non è perfettamente diagonale.
Dovrei trovare approssimazioni dell'ordine di 0 exp(-16) invece mi trovo ...
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