Isomorfismi in geometria
Ho qualche problema con questa parte. Ho il sospetto che il libro non sia molto chiaro. Dato \(\mathbb{R}^{n}\) considero lo spazio tangente \(T_{p}\mathbb{R}^{n}\). Un capo vettoriale su \(U\subset \mathbb{R}^{n}\) associa a \(p\in U\) un vettore \(X_{p}\in T_{p}\mathbb{R}^{n}\) attraverso la corrispondenza \(p\rightarrow X_{p}\). Lo spazio tangente è isomorfo (con \(\varphi\)) allo spazio vettoriale \(D_{p}\mathbb{R}^{n}\) delle derivazioni da \(C_{p}^{\infty}\mathbb{R}^{n}\) a \(\mathbb{R}\), quindi identifico
\begin{split}
X_{p}
&={\small \sum} a^{i}(p)\frac{\partial }{\partial x_{i}}|_{p} \\
\mbox{o meglio}\varphi(X_{p})&={\small \sum} a^{i}(p)\frac{\partial }{\partial x_{i}}|_{p}
\end{split}
Data una funzione \(f\in C_{p}^{\infty}\mathbb{R}^{n}\) ed un campo vettoriale di classe \(C^{\infty}\mathbb{R}^{n}\) (nel senso che \(a^{i}(p)\) appartengono a tale classe) il libro ricava una nuova corrispondenza \(p\rightarrow X_{p}f\) utilizzando l'identificazione precedente:
\begin{split}
(Xf)(p)
&=X_{p}f \\
&={\small \sum} a^{i}(p)\frac{\partial f}{\partial x_{i}}|_{p}
\end{split}
Il problema è che se scrivo \(1+(1,2)=(3,2)\in \mathbb{Q}\) non intendo \(1\) ma \(\varphi(1)=(1,1)\). In questo modo quando penso alla somma fra naturali e razionali, in realtà sto considerando tutto nel contesto razionale. Come applicare la corrispondenza a \(X_{p}f\)? Vorrei scrivere le cose bene per esteso. Halp plis. Se non la capisco cambio libro.
\begin{split}
X_{p}
&={\small \sum} a^{i}(p)\frac{\partial }{\partial x_{i}}|_{p} \\
\mbox{o meglio}\varphi(X_{p})&={\small \sum} a^{i}(p)\frac{\partial }{\partial x_{i}}|_{p}
\end{split}
Data una funzione \(f\in C_{p}^{\infty}\mathbb{R}^{n}\) ed un campo vettoriale di classe \(C^{\infty}\mathbb{R}^{n}\) (nel senso che \(a^{i}(p)\) appartengono a tale classe) il libro ricava una nuova corrispondenza \(p\rightarrow X_{p}f\) utilizzando l'identificazione precedente:
\begin{split}
(Xf)(p)
&=X_{p}f \\
&={\small \sum} a^{i}(p)\frac{\partial f}{\partial x_{i}}|_{p}
\end{split}
Il problema è che se scrivo \(1+(1,2)=(3,2)\in \mathbb{Q}\) non intendo \(1\) ma \(\varphi(1)=(1,1)\). In questo modo quando penso alla somma fra naturali e razionali, in realtà sto considerando tutto nel contesto razionale. Come applicare la corrispondenza a \(X_{p}f\)? Vorrei scrivere le cose bene per esteso. Halp plis. Se non la capisco cambio libro.
Risposte
Sinceramente non capisco il legame tra i due argomenti. Non vedo dove salti fuori \(\displaystyle \mathbb{Q} \) in tutto questo.
E' solo per fare un esempio. Se scrivo quella cosa della somma fra numeri allora capisco. Quello che è scritto sul libro invece non lo capisco.
Ma le due cose non hanno nulla a che fare l'una con l'altra. Se vuoi una versione più intuitiva di tutto il procedimento eccotela:
A ogni punto della spazio affine euclideo \(\mathbb{R}^n\) è associato uno spazio vettoriale euclideo (i vettori che partono da quel punto). Un campo vettoriale è una funzione che associa ad ogni punto dello spazio una direzione (o in altre parole uno di quei vettori).
Ad ognuno di questi vettori posso associare una derivata direzionale (intersa in senso di analisi multilineare). Per la linearità della derivata posso vedere questa derivata come la somma pesata delle derivate parziali (cose che dovresti aver fatto in analisi 2 o 3 a seconda di come vengono chiamati da te).
Un campo vettoriale può essere visto come quindi una funzione che associa ad ogni punto una derivata direzionale.
A ogni punto della spazio affine euclideo \(\mathbb{R}^n\) è associato uno spazio vettoriale euclideo (i vettori che partono da quel punto). Un campo vettoriale è una funzione che associa ad ogni punto dello spazio una direzione (o in altre parole uno di quei vettori).
Ad ognuno di questi vettori posso associare una derivata direzionale (intersa in senso di analisi multilineare). Per la linearità della derivata posso vedere questa derivata come la somma pesata delle derivate parziali (cose che dovresti aver fatto in analisi 2 o 3 a seconda di come vengono chiamati da te).
Un campo vettoriale può essere visto come quindi una funzione che associa ad ogni punto una derivata direzionale.
In quel senso è chiaro. Diciamo che io voglio la versione rigorosissima. \(X_{p}\) e \(\varphi(X_{p})\) sono cose diverse anche se sono legate da un isomorfismo. Per me l'applicazione \((Xf)(p)=X_{p}f=vf\) non è altro che il prodotto di una \(n\)-upla con la funzione \(f\) e non è la stessa cosa di \((Xf)(p)=\varphi(X_{p})f\). Invece per il libro sembra proprio che siano uguali! Se metto a sinistra di \(f\) un vettore, ottengo una cosa diversa dall'applicargli una derivata.
"4mrkv":
In quel senso è chiaro. Diciamo che io voglio la versione rigorosissima. \(X_{p}\) e \(\varphi(X_{p})\) sono cose diverse anche se sono legate da un isomorfismo. Per me l'applicazione \((Xf)(p)=X_{p}f=vf\) non è altro che il prodotto di una \(n\)-upla con la funzione \(f\) e non è la stessa cosa di \((Xf)(p)=\varphi(X_{p})f\). Invece per il libro sembra proprio che siano uguali! Se metto a sinistra di \(f\) un vettore, ottengo una cosa diversa dall'applicargli una derivata.
\(\displaystyle X_pf \) è solo una notazione più comoda ed usuale di \(\displaystyle \phi(X_p) \). Io comunque non ho mai sentito parlare di moltiplicazione di un vettore per una funzione, specialmente segnato così. Ad essere rigorosi il tuo prodotto avrebbe dovuto essere scritto \(\displaystyle \langle X_p, f \rangle \) oppure \(\displaystyle X_p \cdot f \) a seconda di come segni il prodotto scalare. Ma ad essere ancora più rigorosi staresti facendo il prodotto scalare tra elementi di diversi spazi (cosa che non ha senso).
"vict85":
\(\displaystyle X_pf \) è solo una notazione più comoda ed usuale di \(\displaystyle \phi(X_p) \). Io comunque non ho mai sentito parlare di moltiplicazione di un vettore per una funzione, specialmente segnato così. Ad essere rigorosi il tuo prodotto avrebbe dovuto essere scritto \(\displaystyle \langle X_p, f \rangle \) oppure \(\displaystyle X_p \cdot f \) a seconda di come segni il prodotto scalare. Ma ad essere ancora più rigorosi staresti facendo il prodotto scalare tra elementi di diversi spazi (cosa che non ha senso).
Nel dare la formula scrive esplicitamente che \(X_{p}\in T_{p}\mathbb{R}^{n}\), non \(D_{p}\mathbb{R}^{n}\). Ti sembra normale che il libro sia così ambiguo? img Anche quando introduce i campi covettoriali \(U\ni p \rightarrow T^{*}\mathbb{R}^{n}_{p}\), scrive le forme differenziali come \((df)_{p}(X_{p}) =X_{p} f\) (che se ho capito bene dovrei intendere come \((df)_{p}(X_{p}) =\varphi(X_{p}) f\)) e dice che sono funzioni di \(T_{p}\mathbb{R}^{n}\). Però per definizione un campo covettoriale è funzione di \(p\). Dovrei supporre che \(\varphi(X(p)) f\)? Non è certo la stessa cosa. link
Il problema è che nella geometria differenziale \(T_pM\) dove \(M\) è un certo spazio (con determinate caratteristiche che ora non hanno molta importanza) è definito come lo spazio vettoriale delle derivazioni. La notazione \(D_pM\) non è una notazione standard. Il problema è che la definizione di \(T_p\mathbb{R}\) che usi tu è difficile da generalizzare o comunque poco pratica mentre quella delle derivazioni ha i suoi vantaggi. Dovresti partire a ragionare pensando sempre \(X_p\in D_pM\). In ogni caso lo spazio cotangente è semplicemente il duale dello spazio tangente.
Per capire meglio queste cose dovresti guardarti un po' di algebra multilineare.
Per capire meglio queste cose dovresti guardarti un po' di algebra multilineare.
"vict85":
Il problema è che nella geometria differenziale \(T_pM\) dove \(M\) è un certo spazio (con determinate caratteristiche che ora non hanno molta importanza) è definito come lo spazio vettoriale delle derivazioni. La notazione \(D_pM\) non è una notazione standard.Il problema è che la definizione di \(T_p\mathbb{R}\) che usi tu è difficile da generalizzare o comunque poco pratica mentre quella delle derivazioni ha i suoi vantaggi. Dovresti partire a ragionare pensando sempre \(X_p\in D_pM\). In ogni caso lo spazio cotangente è semplicemente il duale dello spazio tangente.
Capisco.
Per capire meglio queste cose dovresti guardarti un po' di algebra multilineare.
Ho studiato anche il capitolo tre e cinque link. In più il capitolo dell'Algebra Lineare di Lang sui prodotti multilineari. Il problema è che mi trovo male con questo libro. Non vedo il motivo perché debba essere più facile per chi non conosce l'argomento, capire le cose scritte in quel modo. Ho trovato Manifolds and Differential Geometry di Jeffrey Lee.
Sulle cose che sono sicuro di trovare nel libro ed in cui non mi trovo tanto sono l'analisi complessa ed in genere i teoremi sull'integrazione perché sono ancora in fase di ripasso. Conosco tutta la topologia nell'appendice del Tu ed il gruppo fondamentale. Conosci il Lee e sai se ci sono particolari prerequisiti?
Ogni persona impara in modo diverso. Quello che può essere intuitivo e utile per una persona può essere un incubo per un'altra. Un approccio eccessivamente formale può estraniare alcune persone, mentre altre persone hanno invece bisogno di essere formali e precisi. Nessuno dei due approcci è giusto o sbagliato, solo diverso. Per quanto mi riguarda ho un modo di affrontare lo studio e la ricerca molto visiva e astratta, preferisco prima imparare i concetti nella loro globalità e nelle loro relazioni e solo più tardi affrontare le problematiche formali e i dettagli. È quindi abbastanza ovvio che difficilmente posso amare i tuoi stessi libri di studio. Anche se devo dire di aver anche apprezzato libri molto formali e precisi, quasi minimali nelle loro spiegazioni. Ma li ho più che altro apprezzati ad un seconda o terza lettura dopo aver imparato i concetti da altre parti e averli più che altro usati come riferimenti per definizioni o altro.
La mia impressione su quel libro è che non accontenta davvero nessuno dei due approcci estremi e che sia alla fin fine qualcosa di intermedio. Alla fine è più che altro poco preciso in alcune notazioni. Questa poca precisione è però in realtà abbastanza comune. Due "cose" isomorfe sono in pratica normalmente la stessa cosa e sono in genere intercambiabili in situazioni in cui quello che si sta facendo è in qualche modo compatibile con la struttura che si sta considerando (come in questo caso). Di fatto non esiste una sola definizione di spazio tangente ad un punto. Si tratta alla fin fine di uno spazio vettoriale di dimensione \(n\) che si trasforma in modo opportuno quando si cambia il sistema di coordinate. L'effettiva natura di questo spazio vettoriale può però cambiare. Alcuni libri definiscono direttamente i vettori tangenti come lo spazio delle derivazioni e non esiste nel loro caso alcuna mappa \( \varphi \). Altri lo definiscono come una copia \( \mathbb R^n \) con opportune caratteristiche, altri ancora come l'insieme dei vettori tangenti a curve in quel punto o.. Qualsiasi sia la definizione, puoi comunque sempre osservare che puoi costruire una mappa da questa definizione alle derivazioni e quindi fare quello che sta facendo il tuo libro.
Se ti trovi male con questo libro.. cambialo..
La mia impressione su quel libro è che non accontenta davvero nessuno dei due approcci estremi e che sia alla fin fine qualcosa di intermedio. Alla fine è più che altro poco preciso in alcune notazioni. Questa poca precisione è però in realtà abbastanza comune. Due "cose" isomorfe sono in pratica normalmente la stessa cosa e sono in genere intercambiabili in situazioni in cui quello che si sta facendo è in qualche modo compatibile con la struttura che si sta considerando (come in questo caso). Di fatto non esiste una sola definizione di spazio tangente ad un punto. Si tratta alla fin fine di uno spazio vettoriale di dimensione \(n\) che si trasforma in modo opportuno quando si cambia il sistema di coordinate. L'effettiva natura di questo spazio vettoriale può però cambiare. Alcuni libri definiscono direttamente i vettori tangenti come lo spazio delle derivazioni e non esiste nel loro caso alcuna mappa \( \varphi \). Altri lo definiscono come una copia \( \mathbb R^n \) con opportune caratteristiche, altri ancora come l'insieme dei vettori tangenti a curve in quel punto o.. Qualsiasi sia la definizione, puoi comunque sempre osservare che puoi costruire una mappa da questa definizione alle derivazioni e quindi fare quello che sta facendo il tuo libro.
Se ti trovi male con questo libro.. cambialo..
Va bene, grazie. Proverò intanto l'altro libro.
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