Forma quadratica e spazio euclideo
ciao a tutti!
scrivo un esercizio di geometria II.
Sia $Q(x_1,x_2,x_3)=3(x_1^(2)+x_2^(2)+x_3^(2))-2(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)$ una forma quadratica nello spazio vettoriale $V^3$.
1)verificare che è uno spazio vettoriale euclideo.
2)determinare una base ortonormale di $V^3$, rispetto al prodotto scalare cosi introdotto.
dunque il primo punto l'ho dimostrato dicendo che poiché la matrice associata alla $Q$ ha tutti i minori principali con determinante maggiore di zero, allora è definita positiva, lo è quindi anche la forma bilineare associata e allora lo spazio $V^3$ è euclideo.
giusto???
per il secondo punto non so proprio farlo. dovrei scrivere la forma bilineare associata a $Q$ che mi definisce il prodotto scalare , ma non riesco a scriverla. mi potreste aiutare ad andare avanti nell'esercizio?
grazie
scrivo un esercizio di geometria II.
Sia $Q(x_1,x_2,x_3)=3(x_1^(2)+x_2^(2)+x_3^(2))-2(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)$ una forma quadratica nello spazio vettoriale $V^3$.
1)verificare che è uno spazio vettoriale euclideo.
2)determinare una base ortonormale di $V^3$, rispetto al prodotto scalare cosi introdotto.
dunque il primo punto l'ho dimostrato dicendo che poiché la matrice associata alla $Q$ ha tutti i minori principali con determinante maggiore di zero, allora è definita positiva, lo è quindi anche la forma bilineare associata e allora lo spazio $V^3$ è euclideo.
giusto???
per il secondo punto non so proprio farlo. dovrei scrivere la forma bilineare associata a $Q$ che mi definisce il prodotto scalare , ma non riesco a scriverla. mi potreste aiutare ad andare avanti nell'esercizio?
grazie
Risposte
ma il prodotto scalare potrebbe essere questo:?
$f(x_1,x_2,x_3)=3(x_1^3+x_2^2+x_3^2)-x_1x_2-x_2x_1-x_2x_3-x_3x_2-x_1x_3-x_3x_1$
$f(x_1,x_2,x_3)=3(x_1^3+x_2^2+x_3^2)-x_1x_2-x_2x_1-x_2x_3-x_3x_2-x_1x_3-x_3x_1$
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