Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti ragazzi ho un endomorfismo in $ R^3 $ con $ A $ matrice associata rispetto alle basi canoniche sia nel dominio che nel codominio, il testo vuole che io esprima l'endomorfismo rispetto a un base $ B $ sia nel dominio che nel codominio e dopo di che bisogna determinare una base per il nucleo e una per l'immagine
Per quanto riguarda esprimere l'endomorfismo in base $ B $ , quello che non mi è chiaro è trovare una base per l'immagine
Per ...
Ciao a tutti, mi trovo di fronte ad un problema che non riesco a risolvere e spero qualcuno di voi mi possa aiutare:
Ho una cubica affine $ C: x^3 + xy^2 + x^2 + 2y^2 - x -1=0 $
Mi viene dato il punto non singolare $ Q=(-1,0) $
Una volta calcolato che la molteplicità di Q in C è 2 dovrei essere in grado di ricavare le rette tangenti principali a C in Q ma non capisco quale sia il metodo per ricavarle.
Grazie in anticipo per le vostre risposte
Salve a tutti, ho un dubbio su come verificare che un generico vettore (v) appartiene o no a un sottospazio (V) del quale conosco i vettori generatori e una base. sono indeciso tra queste due definizioni: 1) il vettore v appartiene a V sse il vettore v é linearmente dipendente ai vettori generatori del sottospazio V. 2) il vettore v appartiene a V sse il vettore v é linearmente dipendente ai vettori che costistuiscono una base di V. quale è corretta? sempre che almeno una di ...
mi viene data l'equazione
$ kx^2 + y^2-2xy+2y=0 $
e mi si chiede per quali valori di k questa sia un'iperbole equilatera
procedo a costruire la matrice rappresentatrice della conica
$ ( ( k , -1 , 0 ),( -1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ) ) $
e vedo che per valorid di $ k<1 $ la conica è un'iperbole
da qui come procedo per trovare il valore che la rende anche equilatera?
Salve a tutti. Desideravo sapere se qualcuno di voi fosse a conoscenza di un metodo standard per lo studio di una quadrica.
Ad esempio:
"Studiare il fascio di quadriche di equazione
$ x^2-2xy+2hxz-2yz+2x+2h+1=0 $
al variare di \( h\in \Re \). Determinare, ulteriormente, il vertice del cono appartenente al fascio."
Ringrazio in anticipo per qualsiasi aiuto.
Ciao a tutti in un esercizio che ho svolto, mi dava una retta nella sua forma cartesiana. Io per esercizio l'ho voluta trasformare in equazione parametrica, e per vedere se avevo fatto giusto, ho fatto il viceversa. Ma l'equazione cartesiana, mi viene diversa. Aiutatemi a capire dove sbaglio. Grazie in anticipo
Equazione della retta $ r:{ ( 3x-y-z-2=0 ),( 5x-2y-z-1=0 ):} $
ora la trasformo in parametrica ponendo $z=t$
$ { ( 3x-y-t-2=0 ),( 5x-2y-t-1=0 ),( z=t ):}\to { ( x=(y+t+2)/(3) ),( y=(-5x+t+1)/(-2) ),( z=t ):} \to$
$ \to{ ( x=(y+t+2)/(3) ),( y=(-5((y+t+2)/(3))+t+1)/(-2) ),( z=t ):} $
$ y=(-5((y+t+2)/(3))+t+1)/(-2)\to y=((-5y-5t-10+3t+3)/(3))/(-2)\to y=-(-5y-2t-7)/(6) \to$
...
Mi rendo conto che la domanda che sto per fare è banale, anche perchè sennò la sfera di milnor non sarebbe tutta sta gran cosa
Come riporta il mio testo "è difficile trovare varietà omeomorfe che non siano diffeomorfe. In particolare per dimensioni
Salve a tutti sono nuovo del forum
Passo subito al dunque:
"Si consideri la base ortonormale $B$ di $ E^3 $ costituita dai vettori:
$v_1 = 1/sqrt(2) (1,1,0)$ , $ v_2 = 1/sqrt(2) (1,-1,0)$ , $ v_3 = (0,0,1) $
e l'endomorfismo $\varphi$ : $E^3$ -> $E^3$ tale che $M_\varphi^(B,B)$ = A , dove:
A = $((1,0,0),(0,2,0),(0,0,0))$.
Ora a me non è chiaro una richiesta del testo, ossia : Trovare le immagini dei vettori di $\epsilon$ (la base canonica), cioè ...
Salve a tutti. Vorrei proporvi due esercizi di geometria che non sono riuscita a risolvere. Mi scuso anticipatamente se potranno sembravi banali. Il testo è il seguente:
Vi ringrazio anticipatamente per qualsiasi vostra risposta.
Data la matrice B
(1 2 -4)
(2 -2 -2)
(-4 -2 1)
Trovare
(a)base ortonormale di R^3 costituita da auto vettori di B
(b)una matrice ortogonale P tale che P^tBP sia una matrice diagonale
Salve sto studiando questo argomento però sia sul libro che su internet trovo definizioni diverse e/o complicate.
"scrivere la definizione di autovettore e di autovalore di una matrice reale quadrata e dire cosa significa che A è diagonalizzabile"
Io risponderei cosi:
autovettore: un vettore non nullo che non cambia direzione nella trasformazione (trovata su internet ma non mi è per nulla chiara)
autovalore: è uno scalare ad esempio lambda. (troppo banale come risposta)?
Autospazio: è il ...
Buongiorno a tutti! Spero possiate aiutarmi in questo semplice, ma per me complicato, esercizio.
Se f: R^2 --> R^2, f(3,2) = (5,-1) e f(4,-1)= (7,2), quanto vale f^-1 (3, -4)?
riporto qui l'immagine che ritrascrivero' al piu presto ma attualmente sono da cellulare:
non riesco a capire da $R$ come abbia potuto determinare $R^3$ con quei valori
in teoria ha fatto $R*R*R$ giusto?
ma a me non esce quel risultato ...
che passaggi avrebbe svolto?
Grazie
Ho un piccolo problemino a fare questo esercizio:
Siano dati i punti:
$ A (0,-1) $ ; $ B (-2,1) $ ; $ C (-1,0) $
Dopo aver dimostrato che sono allineati, rappresentare la retta contenente A,B,C in forma parametrica e cartesiana.
Io ho iniziato cosi:
$( x_3 - x_1 ) / ( x_2 - x_1 ) $ $ = $ $( y_3 - y_1 ) / ( y_2 - y_1 ) $
mi trovo: $1/2=1/2$
Quindi sono allineati
poi devo procedere come la retta passante per 2 punti?
$( x - x_1 ) / ( x_2 - x_1 ) $ $ = $ $( y - y_1 ) / ( y_2 - y_1 ) $
qui mi ...
Salve a tutti, dovrei svolgere questo esercizio ma penso che ci sia un errore nelle soluzioni,
ve lo scrivo:
Scrivere la matrice associata alla seguente applicazione lineare rispetto alla base canonica.
in $R_3$ la proiezione ortogonale $P_r$ sulla retta $r: ( ( x ),( y ),( z ) ) = ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) + t( ( 3 ),( 0 ),( -1 ) ) $
Soluzione riportata sul libro:
$( ( 3/10 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -1/10 ) ) $
Vi spiego come l'ho risolto io:
Ho preso semplicemente la base canonica ossia:
$vec e_1=( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) )$ $vec e_2=( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) )$ $vec e_3=( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) )$
E semplicemente ...
stavo svolgendo un esercizio di un tema d'esame in cui dovevo trovare i valori di k per i quali la matrice fosse diagonalizzabile.
la matrice iniziale è $ ( ( -3 , 13+k , 3-k ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , k+1 , 3+2k ) ) $
trovo il polinomio caratteristico
(-3-λ)(1-λ)(3+2k-λ)
procedo a vedere se anche per i valori k=-1 e k=-3 la matrice è diagonalizzabile
trovo senza problemi che per k=-3 molteplicità algebrica e geometrica sono diverse e quindi la matrice non diagonalizzabile.
il mio problema giunge per k=-1 la soluzione dell'esercizio dice ...
Salve ragazzi ho difficoltà nel risolvere questo esercizio.
Determina le equazioni di una proiettività non identica $ psi P^2rarr P^2 $ tale che il punto $ P [1,0,1] $ sia fisso e la retta di equazione $ X1+X2=0 $ sia fissa punto a punto.
Allora per risolverlo ho trovato due punti appartenenti alla retta $ A[0,1,-1] $ e $ B [1,0,0] $.Ora però non ho proprio idea su come procedere!!
Ciao a tutti. Essendo il mio primo posto cerchero' di utilizzare la formattazione migliore, suppongo pero' che faro' qualche errore, e di questo vi chiedo scusa.
Il testo dell'esercizio e' il seguente:
Si consideri l'endomorfismo $f_k$ : \(\displaystyle R^3 \rightarrow R^3 \) dello spazio vettoriale \(\displaystyle R^3 \)definito da:
\(\displaystyle f_k(x,y,z) = (x+y+kz, x+ky, 2x+(k+1)y + kz) \).
Determinare al variare di k in R:
- Una base di Im$f_k$ e una base di ...
Ciao a tutti, sono alle prese con gli ultimi esercizi su rette piani. Vorrei capire se ho svolto bene questo esercizio. Controllate e ditemi per favore.
Ah non ho ancora fatto né le matrici né i determinanti di matrici.
Sia r la retta di $RR^3$ passante per i punti $A=( ( 1 ),( -1 ),( 2 ) ) $ e $B=( ( -2 ),( 0 ),( 1 ) ) $, e sia s la retta contentente $C=( ( 1 ),( 3 ),( -3 ) ) $ e parallela al vettore \( \overrightarrow{OD}=\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \).
Determinare la posizione reciproca delle ...
Perché definire il concetto di diagonalizzazione sia per endomorfismi che per matrici quadrate?
Né gli appunti presi a lezione né i due testi che utilizzo sono molto chiari a riguardo, o quantomeno leggendoli non riesco a dare una risposta alla mia domanda.
La mia "congettura" è questa: definito cosa voglia dire che un endomorfismo $f:V\to V$ è diagonalizzabile, ci si accorge che questa condizione equivale a dire che fissata una qualunque base $\mathcal{B}$ di ...
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