Spec

[lorenzo.ferrara.71653]

salve, ho studiato il polinomio caratteristico e mi viene che il determinante è uguale a $lambda^3[(lambda+5)^6-5^6]$. qualcuno può dirmi cortesemente per quali valori di lambda il determinante è uguale a 0, ossia lo spec??? e se è diagonalizzabile??? grazie mille!!!

[Paolo902]

Suppongo tu abbia un matrice 9$\times$9, right? Su che campo? I reali o i complessi?

Ad ogni modo, gli autovalori li puoi ricavare immediatamente dal polinomio caratteristico, è già bello fattorizzato, devi solo fare un piccolissimo ragionamento (ma proprio piccolo).

Per quanto riguarda la diagonalizzabilità, anche volendo, non possiamo aiutarti, se non scrivi la matrice - magari con qualche tuo conticino, mostrando esattamente dove ti blocchi.

[lorenzo.ferrara.71653]

si ho una matrice 9x9 in R. è che non riesco a capire: lo spec è formato soltato dall'autovalore 0??? per quanto riguarda la diagonalizzazione non ho un problema di "calcolo", l'ho chiesto per capire se con lo spec={0} è possibile effettuare una diagonalizzazione. Spero di essere stato chiaro e grazie ancora.

[Paolo902]

Sì, se sei su $RR$ allora hai solo l'autovalore zero con molteplicità algebrica 3. Ne consegue che la matrice non è diagonalizzabile (e nemmeno triangolarizzabile).

[gugo82]

@ Paolo90: Occhio... Le radici reali di quella roba lì (contate secondo le rispettive molteplicità) sono cinque, quattro coincidenti con \(0\) e l'altra uguale a \(-10\).

Infatti, usando la differenza di quadrati e la somma/differenza di cubi, il polinomio assegnato si riscrive in maniera fattorizzata come:
\[
\lambda^4\ (\lambda^2 +15\lambda +75)\ (\lambda +10)\ (\lambda^2 + 5\lambda +25)\; .
\]

[Paolo902]

@gugo82: oh sì, grazie, hai assolutamente ragione; grazie della segnalazione. Avevo letto male e considerato come polinomio caratteristico $lambda^3[(lambda+5)^6+5^6]$. Mi scuso per la svista.

[lorenzo.ferrara.71653]

grazie mille!!!