Calcolo e ricerca di autospazi, e molteplicità geometrica

[iolo1]

Buongiorno a tutti, è la prima volta che posto ma vi seguo da tanto..
Ho letto tutta la parte di algebra for dummies, ed è veramente molto interessante..
Vi chiedo gentilmente di risolvere alcuni miei quesiti, in vista di un esame;
La matrice in questione è questa:

$((1,-1,0),(-1,2,-1),(0,-1,1))$

gli autovalori relativi li ho già calcolati, e sono $\Lambda$=1 $\Lambda$=0 $\Lambda$=3; con molteplicità algebrica 1
Ora vi chiedo di aiutarmi a trovare i relativi autospazi.

Un altra domanda: La molteplicità geometrica di un autovalore e la dimensione dell'autospazio generata dallo stesso; ma non capisco come faccio a vederla??
Vi ringrazio in anticipo..

[egregio]

Nel tuo caso la molteplicità geometrica coincide con quella algebrica poichè quest'ultima è pari ad 1 e la molteplicità geometrica deve essere strettamente maggiore di 0 e minore o uguale alla molteplicità algebrica.
Per la determinazione di un autospazo relativo ad un autovalore h con relativa rappresentazione, ti basta scrivere la seguente equazione matriciale:
A-hX=0
dove A è la matrice associata, h sono gli autovalori.

[iolo1]

"biggest":Nel tuo caso la molteplicità geometrica coincide con quella algebrica poichè quest'ultima è pari ad 1 e la molteplicità geometrica deve essere strettamente maggiore di 0 e minore o uguale alla molteplicità algebrica.
Per la determinazione di un autospazo relativo ad un autovalore h con relativa rappresentazione, ti basta scrivere la seguente euazione matriciale:
A-hX=0
dove A è la matrice associata, h sono gli autovalori.

Biggest questo lo so; ma non capisco come si stima la dimensione dell'autospazio!
Il modo in cui si calcolano gli autospazi lo conosco, si mette a sistema la matrice sottraendo dalla diagonale il relativo autospazio; e si risolve, ma è proprio questo che crea problemi..

[ansioso]

$Dim V_\lambda= Dim V - r(A)$ dove la dimensione dello spazio vettoriale corrisponde al numero di colonne!
Ogni $\lambda$ è un autovalore... in questo caso ogni autovalore determina un autospazio di dimensione 1
La dimensione dell'autospazio relativo all'autovalore $\lambda_n$ corrisponde alla molteplicità geometrica per quell'autovalore

spero di esser stato risolutivo

[egregio]

In ogni caso otterrai un sistema omogeneo, la dimensione dell'autospazio è pari al numero di incognite libere.
Ti faccio un esempio, se ti trovi in uno spazio di dimensione 5, e 3 equazioni indipendenti, il tuo numero di incognite libere è 5-3=2.
Quindi il tuo sottospazio avrà dimensione 2, una base del sottospazio la puoi trovare facilmente facendo assumere alternativamente alle due incognite i valori 0 e 1.

[iolo1]

Biggest cosa intendi per incognita libera??
sono riuscito a risolvere il tutto, ma mi sorge un dubbio; esiste un criterio di inserimento degli autovalori nella matrice diagonale; ne deriva anche la matrice di diagonalizzazione??

[sal891]

scusate se riesumo un topic di 3 anni fa.

ma se la molteplicità geometrica fosse uguale a 0 ? è possibile?

mi trovo autovalore = -1 che sostituito alla matrice 3x3 mi da rango 3 ergo la molteplicità è 0 :S possibile?

[egregio]

mi scuso con iolo, ma è da un bel po che non entro sul forum per motivi personali...sono tornato .
sal89, non puoi mai avere molteplicita' geometrica zero: infatti, si dimostra che, dato un autovalore h , la sua molteplicita' geometrica è un numero compreso tra 1 e la sua molteplicita' algebrica.