Tutte le matrici di SO(3) hanno un autovalore +1 o -1.
Allora, ho trovato questo lemma su un libro di meccanica, che fondamentalmente significa che con una rotazione di R^3 un asse mantiene la direzione (con autovalore -1 cambia però il verso). Non c'era la dimostrazione e ho provato a farla io, mi potete confermare la correttezza del procedimento? Credo sia giusta
$A \in SO(3) \Rightarrow A A^T=I \Rightarrow A^T=A^-1$
ovviamente $\sigma(A)=\sigma(A^T)={\lambda_1,\lambda_2, \lambda_3}$
sia $\sigma(A^-1)={1/\lambda_1,1/\lambda_2,1/\lambda_3}$
quindi avendo l'uguaglianza $A^T=A^-1$ $\forall i \lambda_i=1/\lambda_j$ con $i,j \in {1,2,3}$
Quindi si avrà sempre a meno di un riordinamento degli autovalori $\lambda_1\lambda_2=1; \lambda_3=\pm1$ (che ovviamente contiene il caso $\lambda_1=\lambda_2= \lambda_3=\pm1$).
E' corretto come ragionamento? se si allora credo sia facilmente estendibile a qualsiasi SO(n) con n dispari, in pratica gli autovalori di A devono essere uguali a quelli dell'inversa, quindi si accoppieranno in reciproci a due a due, l'ultimo sarà per forza di cose $\pm1$.
$A \in SO(3) \Rightarrow A A^T=I \Rightarrow A^T=A^-1$
ovviamente $\sigma(A)=\sigma(A^T)={\lambda_1,\lambda_2, \lambda_3}$
sia $\sigma(A^-1)={1/\lambda_1,1/\lambda_2,1/\lambda_3}$
quindi avendo l'uguaglianza $A^T=A^-1$ $\forall i \lambda_i=1/\lambda_j$ con $i,j \in {1,2,3}$
Quindi si avrà sempre a meno di un riordinamento degli autovalori $\lambda_1\lambda_2=1; \lambda_3=\pm1$ (che ovviamente contiene il caso $\lambda_1=\lambda_2= \lambda_3=\pm1$).
E' corretto come ragionamento? se si allora credo sia facilmente estendibile a qualsiasi SO(n) con n dispari, in pratica gli autovalori di A devono essere uguali a quelli dell'inversa, quindi si accoppieranno in reciproci a due a due, l'ultimo sarà per forza di cose $\pm1$.
Risposte
Si e no. Non vi è alcun riordinamento degli autovalori. Quello che ricavi è che \(lambda_i^2 = 1\) per ogni autovalore.
Allora sono tutti $\pm1 \forall SO(n)$! Chissà perchè il libro diceva almeno 1 e specificava $SO(3)$ :S.
Perché il determinante è 1 per definizione.
Si quello è chiaro, ma dicevo perchè diceva "almeno un autovalore è $\pm1$ quando lo sono tutti. bastava dire ha tutti autovalori $\pm1$.
Esiste un grosso problema nel tuo procedimento: in generale una matrice di rotazione NON è diagonalizzabile nei reali, ma solo nei complessi. In effetti, una matrice di \(SO(3)\) ha in generale un solo autovettore nei reali uguale all'asse di rotazione con autovalore uguale a \(1\). Una rotazione fissa una sola retta, mentre il resto si muove..
Partiamo quindi dalle definizioni.. Una matrice \( A \in SO(3)\) è tale per cui \( A\,A^T = I \) e \( \det(A) = 1. \) Un autovalore \( \lambda \) di questa matrice sarà uno zero del polinomio \( \det( A - \lambda\,I ). \) Questo polinomio, essendo di grado dispari, avrà certamente almeno uno zero reale.. Facciamo allora qualche calcolo:
\[ 0 = \det( A - \lambda\,I ) = \det( A - \lambda\,A\,A^T ) = \det(A)\,\det( I - \lambda\,A^T ) = - (1/\lambda^3)\,\det(A - \lambda\,I). \]
Da cui abbiamo ovviamente che \( \lambda^3 = 1 \) che nei reali ha come unica soluzione \( \lambda = 1. \) Spero che i passaggi siano sufficientemente chiari. Nota che la dimensione dello spazio di matrici ha un ruolo in questa dimostrazione.
Osserva inoltre che per dimostrare che ne ha esattamente uno reale normalmente si mostra che è simile ad una particolare matrice di rotazione di Givens in cui gli autovalori sono \(1\) e \(e^{\pm i\,\theta}\) (\(\theta\) è l'angolo di rotazione) come si vede abbastanza facilmente facendo i calcoli.
Partiamo quindi dalle definizioni.. Una matrice \( A \in SO(3)\) è tale per cui \( A\,A^T = I \) e \( \det(A) = 1. \) Un autovalore \( \lambda \) di questa matrice sarà uno zero del polinomio \( \det( A - \lambda\,I ). \) Questo polinomio, essendo di grado dispari, avrà certamente almeno uno zero reale.. Facciamo allora qualche calcolo:
\[ 0 = \det( A - \lambda\,I ) = \det( A - \lambda\,A\,A^T ) = \det(A)\,\det( I - \lambda\,A^T ) = - (1/\lambda^3)\,\det(A - \lambda\,I). \]
Da cui abbiamo ovviamente che \( \lambda^3 = 1 \) che nei reali ha come unica soluzione \( \lambda = 1. \) Spero che i passaggi siano sufficientemente chiari. Nota che la dimensione dello spazio di matrici ha un ruolo in questa dimostrazione.
Osserva inoltre che per dimostrare che ne ha esattamente uno reale normalmente si mostra che è simile ad una particolare matrice di rotazione di Givens in cui gli autovalori sono \(1\) e \(e^{\pm i\,\theta}\) (\(\theta\) è l'angolo di rotazione) come si vede abbastanza facilmente facendo i calcoli.
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