Piano contenente due rette e passante per un punto ignoto
Ciao volevo chiedere se brevemente qualcuno mi spiegasse i passaggi da effettuare per trovare le coordinate del punto A dove passa un piano contenente due rette date. Le rette, 2, sono date come intersezioni di due piani e la seconda espressa con l'ausilio di un parametro lamba.
Chiedo scusa in anticipo se ci fosse già una discussione di questo tipo e non l'avessi vista.
GRAZIE
Chiedo scusa in anticipo se ci fosse già una discussione di questo tipo e non l'avessi vista.
GRAZIE
Risposte
Il problema non è per nulla chiaro. Potresti contestualizzare di più ? ed eventualmente farci sapere i tuoi tentativi?
ok, effettivamente mi sono spiegato male...
Allora il testo dell'esercizio è questo:
Il piano contenete le rette s= $ { ( x-3y-2z=-1 ),( 3x-2y+z=0 ):} $ e r= $ { ( x=-lambda ),( y=-lambda-7 ),( z=lambda+5 ):} $
passa anche per il punto:
1] nessuna delle altre risposte
2]il piano non esiste perché le rette sono sghembe
3] (-2,1,2/5)
4] (1,2/5,-2)
5] (2/5,-2,1)
Io ho provato ad eguagliare le equazioni tra le due rette, trovare quindi un punto di intersezione e impostare una matrice per cercare il piano, dopodiché sostituire i punti dati nelle risposte dell'esercizio e vedere quale verificava l'equazione.
Non riesco a capire se sbaglio ragionamento o se ho sbagliato i calcoli!!!
Grazie della pazienza
Allora il testo dell'esercizio è questo:
Il piano contenete le rette s= $ { ( x-3y-2z=-1 ),( 3x-2y+z=0 ):} $ e r= $ { ( x=-lambda ),( y=-lambda-7 ),( z=lambda+5 ):} $
passa anche per il punto:
1] nessuna delle altre risposte
2]il piano non esiste perché le rette sono sghembe
3] (-2,1,2/5)
4] (1,2/5,-2)
5] (2/5,-2,1)
Io ho provato ad eguagliare le equazioni tra le due rette, trovare quindi un punto di intersezione e impostare una matrice per cercare il piano, dopodiché sostituire i punti dati nelle risposte dell'esercizio e vedere quale verificava l'equazione.
Non riesco a capire se sbaglio ragionamento o se ho sbagliato i calcoli!!!
Grazie della pazienza
Le rette sono sghembe?
No le rette non sono sghembe perchè se lo fossero dovrebbero essere non complanari e quindi nè incidenti nè parallele. Io ho verificato che sono parallele tramite i parametri direttori:
s= $ { ( l-3m-2n=0 ),( 3l-2m+n=0 ):} $ sostituendo e imponendo n=1 si ottiene l=-1 m=-1 n=1
I parametri direttori della retta r invece si ottengono semplicemente osservando i coefficienti di $ lambda $ che sono rispettivamente per la x la y e la z: -1 , -1 , 1 quindi l=-1 m=-1 n=1
Di conseguenza essendo i parametri direttori uguali per le due rette, queste sono parallele.
s= $ { ( l-3m-2n=0 ),( 3l-2m+n=0 ):} $ sostituendo e imponendo n=1 si ottiene l=-1 m=-1 n=1
I parametri direttori della retta r invece si ottengono semplicemente osservando i coefficienti di $ lambda $ che sono rispettivamente per la x la y e la z: -1 , -1 , 1 quindi l=-1 m=-1 n=1
Di conseguenza essendo i parametri direttori uguali per le due rette, queste sono parallele.
allora, il piano passa per il loro punto di intersezione .
ok temo di aver sbagliato qualche passaggio!! Grazie 1000...
se mi riesce/ non mi riesce te lo faccio sapere
se mi riesce/ non mi riesce te lo faccio sapere
Ma le rette sono parallele propriamente o impropriamente? Se lo sono propriamente il piano ha come vettori di direzione $ (-1,-1,1) $ che è quello che hai trovato tu e poi l'altro vettore è quello congiungente le due rette (è sufficiente prendere un punto di P di s e un punto Q di r (che ad esempio può essere $ Q(0,-7,5) $) e trovare il vettore $ ul(PQ)=P-Q $
In questo modo puoi scrivere le equazioni parametriche del piano e poi quella cartesiana. Una volta che trovi l'equazione del piano sostituisci le coordinate delle risposte e vedi qual è la risposta giusta.
Il problema è se le rette sono parallele impropriamente perchè in quel caso avresti un fascio di piani che potrebbe passare da un qualsiasi punto arbitrario a seconda dei parametri
In questo modo puoi scrivere le equazioni parametriche del piano e poi quella cartesiana. Una volta che trovi l'equazione del piano sostituisci le coordinate delle risposte e vedi qual è la risposta giusta.
Il problema è se le rette sono parallele impropriamente perchè in quel caso avresti un fascio di piani che potrebbe passare da un qualsiasi punto arbitrario a seconda dei parametri
senti ho provato a cercare un punto di r impostando y=t poi ho sommato la x la y e la z che ho trovato moltiplicandole per i parametri direttori. per ultimo ho fatto la retta per due punti dove uno è (0,-7,5) e l'altro veniva fuori sostituendo la t nella formula... però sostituendo i punti non mi veniva l'uguaglianza..... ce la faresti a farmi vedere come si fa perchè nn riesco a venirne a capo!?!?!? ciao grazie
Allora:
1) Considera la parametrizzazione della retta $r_2$. Un vettore direttore di $r_2$ è allora dato dai coefficienti che compaiono vicino alla $\lambda$, quindi, esso è $u=(-1,-1,1)$.
2) Considera la prima retta: due vettori normali ai piani che si intersecano in $r_1$ sono dati dai coefficienti di x y e z della prima e seconda equazione, quindi sono :$v1=(1,-3,-2)$ e $v2=(3,-2,1)$. La retta $r_1$ è parallela al prodotto vettoriale tra $v1$ e $v2$: $v1xv2=(-7,-7,7)=7u$. cio' vuol dire che le rette sono parallele.
3) devi vedere se sono coincidenti. SI nota subito che non lo sono, basta che prendi un punto della retta r1 e vedi che non si trova in r2
4) Determini il piano che le contiene entrambe.
Io di solito, per questioni pratiche uso sempre questo metodo:
Il nostro piano è un piano del fascio generato da r1 e da un generico punto di r2.
Prendiamo allora l'equazione cartesiana di r1 e scriviamo la generica equazione del fascio:
$\lambda (x-3y-2z+1)+\mu (3x-2y+z)=0$.
A questo punto imponiamo il passaggio del piano per il punto P(1,-6,4) appartenente ad r2 : in questo modo otteniamo l'equazione del piano cercato.
5)Per vedere quale risposta è esatta, sostituisci le coordinate dei punti nelle opzioni all'interno dell'equazione del piano trovato. se viene una identita' il punto vi appartiene.
Spero di esserti stato utile!
1) Considera la parametrizzazione della retta $r_2$. Un vettore direttore di $r_2$ è allora dato dai coefficienti che compaiono vicino alla $\lambda$, quindi, esso è $u=(-1,-1,1)$.
2) Considera la prima retta: due vettori normali ai piani che si intersecano in $r_1$ sono dati dai coefficienti di x y e z della prima e seconda equazione, quindi sono :$v1=(1,-3,-2)$ e $v2=(3,-2,1)$. La retta $r_1$ è parallela al prodotto vettoriale tra $v1$ e $v2$: $v1xv2=(-7,-7,7)=7u$. cio' vuol dire che le rette sono parallele.
3) devi vedere se sono coincidenti. SI nota subito che non lo sono, basta che prendi un punto della retta r1 e vedi che non si trova in r2
4) Determini il piano che le contiene entrambe.
Io di solito, per questioni pratiche uso sempre questo metodo:
Il nostro piano è un piano del fascio generato da r1 e da un generico punto di r2.
Prendiamo allora l'equazione cartesiana di r1 e scriviamo la generica equazione del fascio:
$\lambda (x-3y-2z+1)+\mu (3x-2y+z)=0$.
A questo punto imponiamo il passaggio del piano per il punto P(1,-6,4) appartenente ad r2 : in questo modo otteniamo l'equazione del piano cercato.
5)Per vedere quale risposta è esatta, sostituisci le coordinate dei punti nelle opzioni all'interno dell'equazione del piano trovato. se viene una identita' il punto vi appartiene.
Spero di esserti stato utile!
grazie 1000 chiaro e preciso!!!!
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